Реферат: Степенные ряды

формула Даламбера:

;(1.3)

формула Коши:

.(1.4)

Если в формуле Коши , то полагают , если , то полагают .

Пример 1.1. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда .

Решение

Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле

В нашем случае

, .

Тогда .

Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид .

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При степенной ряд превращается в числовой ряд

.

который расходится как гармонический ряд.

При степенной ряд превращается в числовой ряд

.

Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и . Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.

Таким образом, промежуток – область сходимости данного степенного ряда.

2. Свойства степенных рядов

Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию , определенную в интервале сходимости , т. е.

.

Приведем несколько свойств функции .

Свойство 1. Функция является непрерывной на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости .

Свойство 2. Функция дифференцируема на интервале , и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.