Реферат: Степенные ряды
. (3.2)
Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции 
в окрестности точки 
совпадает с функцией ?
Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции сходится, однако его сумма не равна .
Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции 
к этой функции.
Теорема 3.1:
если в интервале 
функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е. 
, то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого х из этого интервала , т. е. имеет место равенство
.
Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.
Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.
4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
1. 
. Для этой функции 
, 
.
По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:
. (3.3)
Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):
.
Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении 
.
Все производные функции 
на любом отрезке 
ограничены, т. е.
.
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
. (3.4)
2. 
. Для этой функции 
, 
, 
.
Отсюда следует, что при 
производные четного порядка равны нулю, а производные нечетного порядка чередуют знак с плюса на минус.
По формуле (3.2) составим ряд Маклорена:
.
При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом
.
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
. (3.5)
3. 
. Воспользуемся разложением (3.5) в ряд Маклорена функции 
и свойством 2 о дифференцировании степенного ряда. Имеем
|
К-во Просмотров: 676
Бесплатно скачать Реферат: Степенные ряды
|