Реферат: Степенные ряды
формула Даламбера:
;(1.3)
формула Коши:
.(1.4)
Если в формуле Коши , то полагают
, если
, то полагают
.
Пример 1.1. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда .
Решение
Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле
В нашем случае
,
.
Тогда .
Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид .
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
При степенной ряд превращается в числовой ряд
.
который расходится как гармонический ряд.
При степенной ряд превращается в числовой ряд
.
Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и . Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.
Таким образом, промежуток – область сходимости данного степенного ряда.
2. Свойства степенных рядов
Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию , определенную в интервале сходимости
, т. е.
.
Приведем несколько свойств функции .
Свойство 1. Функция является непрерывной на любом отрезке
, принадлежащем интервалу сходимости
.
Свойство 2. Функция дифференцируема на интервале
, и ее производная
может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.