Реферат: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией

Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить

§ 2 Свойства функции .

1. Если , при , то при
Доказательство:
, , " N >0, :

2. (2)

3. (3)

Дифференцируя формулу (1) по dx получаем

(4)

(5)

§ 2 Свойства функции и ее производных.

I) Рассмотрим вид функции для случаев когда :

2.1

2. 2

2 .3 где a>0;

Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.

Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при функция стремится к 0.

Доказательство:

Рассматривая второй интеграл, мы получаем:

Рассматривая первый интеграл, получаем:

Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении , то есть при возрастании x эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при

Следовательно:

2.4.

Наложить на ограничение, такое чтобы присутствие не влияло на поведение функции.

Рассматривая полученное выражение можно заметить что

становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части

как только . Ограничение №1

В тоже время

Становится бесконечно малым как только . Ограничение №2

Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что

должен быть очень малым при то есть

так как ограниченная функция, к 0 должен стремится .

Ограничение №3

Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:

Следовательно, ограничение на удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие не влияет на поведение функции .

§ 3 Рассмотрим поведение функции для случаев:

3.1)