Реферат: Теорема Штольца

которая представляет неопределённость вида .

Полагая в теореме Штольца

x_n =1^k +2^k +…+n^k , yⁿ =n^k+1 ,

будем иметь

.

Но

(n-1)^k+1 =n^k+1 -(k+1)n^k +… ,

так что

n^k+1 -(n-1)^k+1 =(k+1)n^k +…

и

.

5. Определим предел варианты

,

представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида :

.

Полагая x_n равным числителю этой дроби, а y_n – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

.

Но ,

а ,

так что, окончательно,

.

Пример 1.

====== ===.

Пример 2.

=

==

==

==

==

==

=.

Пример 3.

=

=.

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.

Теорема.

Пусть функция , причем, начиная с некоторой x_k , g(x_k +1)>g(x_k ), т.е. функция возрастающая.

Тогда,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

.

Тогда, по определению предела

или

.

Значит, какой бы ни взять, все дроби

, , …,

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(x_n ) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при

.

Напишем тождество(которое легко проверить):

,