Реферат: Теорема Штольца
1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.
2. Применение теоремы Штольца:
a) 
;
b) нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты 
;
c) 
;
d) 
.
3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.
4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.
Для определения пределов неопределенных выражений 
типа 
часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.
Пусть варианта 
, причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и 
возрастает: 
. Тогда =
,
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
Допустим, что этот предел равен конечному числу 
:
.
Тогда по любому заданному
найдется такой номер N, что для n>N будет
или
.
Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби 
, 
, …, 
, 
лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь
, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N
.
Напишем теперь тождество:
,
откуда
.
Второе слагаемое справа при n>N становится <
; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N’ . Если при этом взять N’ >N, то для n>N’ , очевидно, 
, что и доказывает наше утверждение.
Примеры:
1. Пусть, например, 
. Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) 
, следовательно, вместе с yn и xn
, причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению 
(ибо здесь предел уже конечен ), откуда и следует, что 
, что и требовалось доказать.
2. При а>1
Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:
3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:
Если варианта an имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта
(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn ).
Действительно, полагая в теореме Штольца
Xn =a1 +a2 +…+an, yn =n,
Имеем:
Например, если мы знаем, что 
,
то и 
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--