Реферат: Теоремы сложения и умножения вероятностей, вероятность появления хотябы одного события

Здесь число элементов любого конечного множества M будем обозначать .

По-иному можно сказать, что вероятность события А, определяемая по формуле (1.1), равна отношению числа возможных исходов испытания, благоприятных наступлению события А, к числу всех возможных исходов испытания при условии, что все эти исходы равновозможны или равновероятны.

Приведем примеры классического определения вероятностей.

Пример 1. Правильная монета подбрасывается один раз. Найти вероятности событий: А = {появление герба}, В = {появление цифры}.

Решение. В этом простейшем примере Ω = {ω1 ,ω2} , А={ω1} ; В={ω2} , где ω1 = {г}; ω2 = {ц}. Тогда по формуле (1.1)

.

Пример 2. Стандартная игральная кость брошена один раз. Каковы вероятности событий: А = {выпадения четного числа очков}, В = {выпадения числа очков, кратного трем}, С = {выпадение дробного числа очков}, D = {выпадение любого числа очков}.

Решение. Пространство элементарных событий Ω = {ω1 ,ω2 ,...,ω6} , где ωi = {выпадение i очков, i = 1, 2,…,6}, = n = 6. Здесь А = {ω2 ,ω4 ,ω6}, = 3; В = {ω3 ,ω6} , = 2; С = Ø , = 0 ; D = {ω1 ,ω2 ,...,ω6}, = 6 .

По классическому определению (1.1) получаем:

Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом «равновероятных» исходов. В этом случае целесообразно переходить на геометрический язык и пользоваться геометрическим подходом к определению вероятности или геометрическими вероятностями.

1.2 Геометрическое определение

Геометрическое определение вероятности может быть использовано в том случае, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой области (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы.

Если пространство Ω непрерывное и состоит из равновозможных элементарных исходов, то для любого события

(1.2)

где под mes (от английского measure), обозначена любая геометрическая мера этого пространства (длина, площадь, объем и т. д.).

Геометрическая вероятность (1.2), так же как и классическая (1.1), равна отношению геометрической меры области, благоприятной наступлению события А, к мере всей области Ω.

Пример 3. В точке С, положение которой на телефонной линии связи KL длины z равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки К на расстояние, не меньшее l (событие А).

Решение. Представим линию связи в виде отрезка KL, длина которого равна z. Тогда = l, = z − l.

Обрыв равновозможен на любой единице длины отрезка CL. Тогда по геометрическому определению искомая вероятность определится как отношение длин области, благоприятной наступлению события, к длине всей области, т.е. отрезка KL.

2. Теорема сложения вероятностей

В любых сколь угодно сложных расчетах по теории вероятностей в той или иной форме используют две теоремы: теорему сложения и теорему умножения вероятностей.

Теорема 1. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Доказательство. Докажем теорему для двух событий, т.е. покажем, что если С=А+В и АВ=Ø , то

Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В), (1.3)

Для простоты рассуждений будем опираться на классическое определение вероятности. Пусть множество элементарных исходов испытания или опыта Ω дискретно и состоит из n равновозможных исходов, т. е. = n; пусть событию А благоприятствуют m′ исходов, = m′; событию В – m′′ исходов, = m′′ . Так как А и В несовместны, то среди исходов, благоприятствующих наступлению этих событий, нет совпадающих. Поэтому событию С=А+В будет благоприятствовать m′ + m′′ исходов, = m′ + m′′. Тогда по классическому определению

Последнее выражение можно также представить в виде