Реферат: Теория оптимального приема сигналов

Учитывая свойства векторного представления функций времени, от выражения(5), можно перейти к эквивалентному ему выражении.

(6)

Выражение(5) или (6) представляет собой алгоритм работы оптимального приемника дискретных сообщений. Работая по этому алгоритму, оптимальный приемник должен вычислить значения величины для всех М, используемых в системе сигналов (где j-1,2,…,М), сравнить их между собой, выбрать наименьшее значение и воспроизвести на выходе соответствующее ему дискретное сообщение.

Иными словами, оптимальный приемник всегда воспроизводит на выходе сообщение, переносимое тем сигналом, к которому наиболее близка входная реализация y(t). В геометрической интерпретации это означает, что оптимальный приемник всегда относит вектор входной реализации y к ближайшему вектору сигнала.

Очевидно, что прием сигналов в присутствии шума может приводить к ошибкам, поскольку вектор входной реализации случаен и с некоторой вероятностью может попасть в любую точку пространства. Допустим, что вектор y, образованный из переданного сигнала и шума n, попал в точку, наиболее близко расположенную к вектору сигнала .

Если i=j, то приемник примет правильное решение, если же , то решение приемника окажется ошибочным и вместо переданного сообщения он ошибочно воспроизведет сообщение .

Несмотря на то, что оптимальный приемник дискретных сообщений может допускать ошибочные решения, их вероятность у этого приемника минимальна по сравнению с любыми реальными приемниками таких сообщений.

Исследования показывают, что алгоритм может быть представлен в более удобном для схемной реализации виде и позволяет получить структурные схемы оптимальных приемников и выражения для расчета помехоустойчивости.

2 Оптимальный когерентный прием дискретных сигналов и его помехоустойчивость

В задаче распознавания сигналов, не содержащих случайных параметров(т.е. точно известных), «причинами» являются поступающие на вход сигналы , вероятности которых равны, очевидно, вероятности появления соответствующих элементов . «Следствиями» являются реализации суммы сигнала и помехи.

Количественно описание ситуации удобно производить с помощью рассмотрения векторов соответствующих колебаний. Вместо сигналов будем оперировать однозначно соответствующими им векторами , а вместо реализаций y(t) – векторами , координаты которых определяются выражением, которое в нашем случае запишем так:

(1)

В соответствии с теоремой Байеса

(2)

Как было отмечено, решение обычно выносится в пользу сигнала, имеющего наибольшую апостериорную вероятность. Так как знаменатель не зависит от номера I, то решающее правило(алгоритм решения) определяется так:

(3)

Следует обратить внимание на то, что в этих выражениях -- плотности вероятностей, так как компоненты вектора y, как видно из (1), являются непрерывными случайными величинами.

В выражении (3) априорные вероятности передачи элементов должны быть заданы. Следовательно, необходимо определить только правдоподобия . Это можно сделать исходя из того, что помеха аддитивна. Так как

,

то плотность вероятности некоторого значения вектора равна плотности вероятности, что вектор помехи n примет значение . Отсюда следует, что если- известная нам плотность вероятности вектора помехи, то

(4)

Последний переход справедлив потому, что сигнал и помехи – независимые процессы.

Для дальнейшей конкретизации алгоритма необходимо задать определенный вид помехи. В большинстве случаев имеют место нормальные (гауссовские) или близкие к ним помехи. Вычисления в этом случае оказываются наиболее простыми. При гауссовских помехах каждая компонента вектора распределена по нормальному закону

(5)

В ряде случаев, в частности, при равномерном распределении энергии помехи по полосе рассматриваемых частот, компоненты вектора являются независимыми случайными величинами. Тогда, как известно,

(6)

При зависимых компонентах выражение для существенно усложняется и этот случай здесь рассматривать не будем.

Отметим, что ,т.е. является квадратом длины(нормы) вектора помехи.

Следовательно,

(7)