Реферат: Теория оптимального приема сигналов

(8)

Приемник, работающий по алгоритму(8), называется байесовским или приемником максимальной апостериорной вероятности. Если апостериорные вероятности элементов одинаковы, то решающее правило упрощается:

(9)

Соответствующий приемник называется приемником максимального правдоподобия. Правило(9) раскрывает механизм работы оптимального приемника.

Получив вектор y, с помощью обработки реализации y(t) необходимо вычислить расстояние от его конца до концов векторов всех возможных сигналов и вынести решение в пользу того сигнала, для которого величина будет минимальной, так как именно в этом случае функция (9) достигнет максимума. Коротко можно сказать, что оптимальный приемник выносит решение в пользу сигнала «ближайшего» к y(t).

Выражение(9) достигает максимума при минимуме показателя экспоненты. Следовательно, правило (9) можно записать в ином виде:

или, учитывая векторное представление

(10)

Здесь первый член в скобках не зависит от номера i. Последний член – есть энергия i-того сигнала. Если энергии всех сигналов одинаковы, что обычно имеет место, то этот член также не зависит от номера i. Таким образом, решающее правило можно записать так:

(11)

Справедливость такого перехода обусловлена тем, что второй член в (10) имеет знак минус и выражение (10) минимизируется, если этот член достигает максимума. Выражение(11) уже позволяет определить структуру оптимального приемника. Однако удобнее это выражение представить в другом виде. Действительно, учтем, что

(12)

Тогда окончательно получим

(13)

Эта структура называется оптимальным корреляционным приемником, так как основная операция, лежащая в его основе, это операция корреляции y(t) со всеми возможными сигналами .

Из проведенного рассмотрения следует, что в состав оптимального приемника должны входить генераторы, вырабатывающие образцы сигналов, тождественные тем, которые используются на передатчике. Кроме того, между работой генераторов передатчика и приемника должна соблюдаться синхронность и синфазность, т.е. обеспечиваться идеальная синхронизация.

3 Оптимальный некогерентный прием дискретных сигналов и его помехоустойчивость

Ранее было показано, что если импульсный отклик линии представляет собой -функцию, то такая линия только ослабляет передаваемый сигнал, не изменяя его формы. Пусть ослабление сигнала а — медленно изменяющаяся случайная величина, практически постоянная на интервалах длительностью Тс. Если бы а была постоянной и известной величиной, то осуществлялся бы прием точно известных сигналов с решающим правилом

(1)

При случайном значении а следует усреднить результат по закону распределения р(а); тогда при равновероятностных сигналах решающее правило примет вид

(2)

Из соотношения (2) следует, что при таком подходе структура оптимального приемника останется прежней (инвариантной к случайным значениям а). Вероятность же ошибок (при прочих равных условиях) возрастает. При случайном значении а эти выражения необходимо усреднить по р(а). В частности, для противоположных сигналов усредненное значение вероятности ошибки Р0ш должно определяться в соответствии с выражением

(3)

Для распределения р(а), подчиняющегося закону Рэлея можно показать, что

(4)

где . Нетрудно видеть, что при одинаковых значениях а вероятность ошибок, рассчитанная по формуле (4), значительно превышает вероятность ошибок. Физическая причина увеличения вероятности ошибок ясна: возрастание а приводит к некоторому уменьшению вероятности ошибок, однако падение а приводит к значительному возрастанию этой вероятности вследствие отмеченного выше «порогового эффекта».

Рассмотрим далее случай, когда линия вносит в сигналы только случайный сдвиг начальной фазы, имеющий место в подавляющем большинстве реальных ситуаций. При этом, если

то сигналы на выходе линии (входе приемника)