Реферат: Теплопроводность через сферическую оболочку

В частности, тепловой поток q ₁ через внутреннюю сферу радиусом R ₁ и тепловой поток q ₂ через наружную сферу радиусом R ₂ равны

(2.29)

Все эти три потока создаются одним и тем же источником мощностью P . Поэтому все они равны P и поэтому равны между собой.

. (2.30)

С учётом (2.28) и (2.29) это равенство можно записать в виде:

. (2.31)

Учитывая, что

,

получаем искомую зависимость плотности теплового потока j от радиуса r :

, (2.32)

где C ₁ - это константа, определяемая формулой

. (2.33)

Физический смысл полученного результата достаточно ясен: это известный закон обратных квадратов, характерный для задач со сферической симметрией.

Теперь, так как функция j (r ) известна, можно рассматривать уравнение (2.27) как дифференциальное уравнение относительно функции T (r ). Решение этого уравнение и даст искомое распределение температур. Подставив в (2.27) выражение (2.32) и заданную функцию , получим следующее дифференциальное уравнение:

. (2.34)

Данное уравнение решается методом разделения переменных:

.

Интегрирование этого выражения даёт:

Итак, функция T (r ) имеет вид:

. (2.35)

Константы C ₁ и C ₂ можно определить из граничных условий T (R ₁ ) = T ₁ ,
T (R ₂ ) = T ₂ . Подстановка этих условий в (2.35) даёт линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными C ₁ и C ₂ :

. (2.36)

Вычитая из первого уравнения второе, получим уравнение относительно C ₁ :

,

откуда

. (2.37)

С учётом этого выражение (2.35) можно записать в виде:

. (2.38)

Теперь первое граничное условие T (R ₁ ) = T ₁ даёт:

, (2.39)

откуда следует выражение для константы C ₂ :

. (2.40)

Подстановка (2.40) в (2.39) даёт окончательное выражение для искомой функции T (r ):

. (2.41)

Зная функцию T (r ), можно из закона Фурье

определить и окончательное выражение для плотности теплового потока j как функции от радиуса r :

. (2.42)

Интересно отметить, что распределение температур не зависит от коэффициента b , но зато плотность потока пропорциональна b .

3 Заключение

В результате проделанной работы выведено дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к данным конкретным условиям задачи и получено решение этого уравнения в виде функции T (r ). Разработана программа TSO , рассчитывающая функцию T (r ) и строящая её график для различных задаваемых пользователем параметров задачи . Листинг программы приведен в Приложении А.

Список используемых источников

Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., испр. и доп. — М: Высш. школа, 1980. — 469 с.

Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики: М.: Наука, 1969. — 288 стр.

Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика: Учеб. пособие для студентов втузов. — М.: Наука, 1982. — 432с.

Зельдович Б.И., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. — М.: Наука, 1973. — 352с.

Приложение А

(обязательное)

Листинг программы TSO

unit Kurs_p;

interface