Реферат: Топологические пространства

Обычная и дискретная топологии удовлетворяют аксиомам Т0-Т2 , и в них не существует столь экзотических примеров пределов. Однако не следует думать, что дискретная топология очень похожа на обычную. Напомним, что в дискретной топологии открытым является любое множество, то есть, в частности, любая точка x является сама своей окрестностью (чтобы не запутаться, обозначим эту окрестность через {x}). Понятно, что в этом случае в окрестности {x} точки x нет точек, отличных от x, то есть любая фиксированная точка x может быть пределом только таких последовательностей, у которых начиная с некоторого N все члены xn > N равны x.

Имеется еще одна важная система аксиом, относительно которых, кстати, различаются две последние топологии.

Определение 9. Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, если топология этого пространства имеет базу, состоящую из счетного набора множеств (то есть множества, входящие в эту базу, можно занумеровать натуральными числами).

Обычная топология на прямой имеет счетную базу - это e-окрестности с рациональным e, центрами которых являются рациональные точки (как известно, множество рациональных чисел счетно). Дискретная топология на прямой не имеет счетной базы: в любую базу этой топологии должны входить все точки прямой, а, как известно, это множество более чем счетно (его нельзя перенумеровать)