Реферат: Торричелли

○ Построив равносторонние ∆АСВ₁ и ∆АВС₁ , докажем, что вершина А – искомая точка. Покажем, что для всякой точки, лежащей внутри треугольника, например для точки Р , имеет место соотношение РА + РВ + РС > АВ +АС. (Рис.4.)

Рис. 4.

Построим на отрезке АР равносторонний треугольник АРР₁ . Из равенства ∆В₁ Р₁ А = ∆СРА (АВ₁ = АС; АР₁ =АР; ÐРАС= ÐВ₁ АР₁ ) следует, что РС = Р₁ В₁ .

Итак:

РА + РВ + РС = РВ + РР₁ + Р₁ В;

РВ + РР₁ + Р₁ В₁ > В₁ В;

РВ + РА + РС > АВ + АС .●

б) В плоскости ∆АВС с углом А > 120° найдем точку Торричелли.

Покажем, что искомой точкой является вершина тупого угла.

Возьмем произвольную точку Р внутри треугольника и покажем, что сумма РА + РВ + РС > АВ + АС . (Рис.5.)

Рис. 5

Построим равносторонние треугольники РАР₁ и АВС₁ .

∆АВР = ∆АР₁ С₁ (АР = АР₁ ;

АВ = АС₁ ; ÐРАВ = ÐР₁ АС₁ ).

Следовательно ВР=Р₁ С₁ ; поэтому

РС + РА + РВ = РС +РР₁ + Р₁ С₁

и далее

РА + РВ + РС > АС + АС₁ ;

РА + РВ + РС > АС +АВ .

Задача о нахождении точки Торричелли решена.

Литература.

1. Радемахер Г., Тенлиц О. Числа и фигуры. – М.: Физматгиз, 1962. – С. 22 – 29.

2. Болтянский В. Г., Яглом И. М. Геометрические задачи на максимум и минимум//Энциклопедия элементарной математики. Т. V. – М.: Наука, 1966

3. Брокгауз Ф_А_, Ефрон И_А_ Энциклопедический словарь -Москва Высшая Школа 1986.