Реферат: Требования к геодезическому обоснованию вариометрической съёмки на примере Курской магнитной аномалии

Выберем в точке А поверхности Земли систему координат А_XYZ : ось Z совместим с направлением силы тяжести, ось X направим на север, ось Y на восток. Согласно определению, первые производные потенциала W силы тяжести равны составляющим силы тяжести по осям координат.

g_X = ∂W/∂x ; g_Y = ∂W/∂yg_Z = ∂W/∂_Z (1.1)

В точке А составляющая g_X равна силе тяжести, а составляющие g_X и g_Y равен нулю. Для точки B направление силы тяжести и оси Z не совпадают, поэтому появляются горизонтальные составляющие g_X и g_Y . Представим их в виде :

(g_X )_B = (g_X )_A + (∂g_X /∂y) x + (∂g_X /∂y)y + (∂g_X /∂z)z

(1.2)

(g_Y )_B = (g_Y )_A + (∂g_Y /∂y) x + (∂g_Y /∂y)y + (∂g_Y /∂z)z

Но согласно (1.1) производные составляющих силы тяжести являются вторыми производными потенциала

∂g_X /∂x = ∂ ² W/∂_X ² ;

∂g_X /∂y = ∂g_Y /∂x = ∂ ² W/∂x∂y ; ∂ ² g/∂y ² = ∂ ² W/∂y ² (1.3)

∂g_Z /∂x = ∂ ² W/∂x∂z ; ∂g_Z /∂y = ∂ ² W/∂x∂z (1.4)

Производные (1.3) связаны с кривизной уровенной поверхности. Их называют градиентами кривизны.

Производные (1.4) называют горизонтальными градиентами силы тяжести.

Уравнение (1.2) поясняет принципиальную возможность измерения вторых производных потенциала : если измерить разности (g_X )_B - (g_X )_A ,

(g_Y )_B - (g_Y )_A составляющих силы тяжести в двух точках, при известных расстояниях X, Y, Z между ними, можно найти входящие в (1.2) коэффициенты. Вторые производные потенциала обычно записывают в виде

∂² W/∂x² =Wxx ∂² W/∂x∂y=Wxy ∂² W/∂x∂z=Wxz

(1.5)

∂² W/∂y² =Wyy ∂² W/∂y∂z=Wyz ∂² W/∂z² =Wzz

Гравитационный вариометр, ориентированный в топоцентрической системе координат X, Y, Z (рис. 2), связанной с гравитационным полем, измеряет компоненты тензора [3]

(1.6)

Для нахождения компонентов тензора (1.6) измеряют смещение двух или большего числа пробных масс в неоднородном гравитационном поле измерительной системы: при этом полагают, что градиент постоянен в объёме, занятом системой. Разность ускорений, воздействующих на близкие пробные массы, получаются по измерениям разности их перемещений (осевая система с поступательным движением) либо углов поворота (вращательная система). Эти перемещения измеряют оптическими или электрическими устройствами.

1.2. Основы теории вариометров

Основным прибором для нахождения значения почти всех вторых производных потенциала W силы тяжести является гравитационный вариометр. Вариометр разработан венгерским физиком Р. Этвешем в конце XIX века.

Рассмотрим основы теории вариометра. Он представляет собой крутильные весы – прибор для измерения малых сил, действующих в горизонтальной плоскости. На рис. 3 ОО₁ – вертикальная нить, на которой подвешен рычаг AB с грузами массы m на концах. Сила тяжести в точках A, O, B по величине и по направлению различна. Выберем систему прямоугольных координат, начало координат поместим в точку O, ось z направим по касательной к отвесной линии в точки O, ось x – на север, ось y – на восток. Отличие составляющих g_z в точке A и B вызовет наклон коромысла AB в вертикальной плоскости, который при наблюдениях не измеряется и не учитывается. Отличие горизонтальных составляющих в этих точках создаёт пару сил, которые вызовут поворот коромысла в горизонтальной плоскости на угол θ – θ₀ отсчитываемый от положения коромысла в однородном поле.

рис. 3

1.3 Основное уравнение вариометра

Напишем уравнение равновесия: τ(θ – θ₀ )+M_Z =0 где τ – крутильная жёсткость нити OO₁ , θ – θ₀ – угол закручивания нити относительно положения равновесия коромысла в однородном поле M_Z – момент внешних сил относительно оси z. Далее по известным формулам получаем основное уравнение гравитационного вариометра

τ(θ – θ₀ )=KW_XY cos2α+K/2Wδsin2α+Lhm(W_XY cosα-W_XY sinα) (1.3.1)

Величина θ – измеренный угол поворота коромысла, α – заданное значение аргумента. Для определения неизвестных нужно выполнить наблюдения в пяти различных азимутах. Если уменьшить длину коромысла, то можно считать K≈0, тогда в основном уравнение останутся только три неизвестных - θ₀ , W_YZ , W_XZ так как произведение W_YZ W_XZ определяют градиент силы тяжести в горизонтальном направлении, то прибор, у которого выполнено условие K≈0 называют градиентометром рис. 4

рис. 4