Ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè íå îäíàæäû ïðèâîäèëî â ïðîøëîì ê íåîáõîäèìîñòè îñìûñëåíèÿ è ïåðåñòðîéêè å¸ îñíîâ. Äèïëîìíàÿ ðàáîòà Áîëüøàêîâà À. À. ïîñâÿùåíà îáçîðó òðåõ ïåðèîäîâ èíòåíñèâíûõ ïîèñêîâ ïóòåé ïðåîäîëåíèÿ íàêîïèâøèõñÿ âíóòðåííèõ ïðîòèâîðå÷èé: àíòè÷íûé ïåðèîä, ïåðèîä îáîñíîâàíèÿ àíàëèçà è òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûé ïåðèîä.

 ðàáîòå ïðèâîäèòñÿ ìíîãî èíòåðåñíûõ èñòîðè÷åñêèõ ñâåäåíèé. Ïîêàçàíû íåïðîñòûå ïóòè ôîðìèðîâàíèÿ íåêîòîðûõ îñíîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé.

Àâòîð ïîêàçûâàåò ãëóáîêîå ïðîíèêíîâåíèå â òåìó è õîðîøåå âëàäåíèå ìàòåðèàëîì. Äèïëîìíàÿ ðàáîòà Áîëüøàêîâà À. À. çàñëóæèâàåò âûñîêîé îöåíêè.

Çàâåäóþùèé êàôåäðîé

ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà,

êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ
íàóê

Çàõàðîâ Ñ. À.

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè

Àñòðàõàíñêèé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ. Ì. Êèðîâà

Òðè êðèçèñà
â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè

ÄÈÏËÎÌÍÀß ÐÀÁÎÒÀ

студента физико-математического
факультета

Научный руководитель
Ованесов Н. Г.

Àñòðàõàíü · 96

Îãëàâëåíèå

Ââåäåíèå

I. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â äðåâíåé Ãðåöèè îò Ïèôàãîðà äî Åâêëèäà.

1. Ìàòåìàòèêà ïèôàãîðåéöåâ

2. Ïðîáëåìà áåñêîíå÷íîñòè â äðåâíåãðå÷åñêîé ôèëîñîôèè è ìàòåìàòèêå

3. Òðè çíàìåíèòûõ çàäà÷è äðåâíîñòè

4. Ïðåîäîëåíèå êðèçèñà îñíîâ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè

II. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â XVIII è â ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà

1. Îñîáåííîñòè ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â êîíöå XVII è â XVIII âåêå

2. Ðàçðàáîòêà ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII è ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà

III. Ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XIX âåêà è íà÷àëà XX âåêà

1. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ Ã. Êàíòîðà

2. Òðóäíîñòè ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. Êðèòèêà êîíöåïöèè Ã. Êàíòîðà

3. Ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè) òåîðèè ìíîæåñòâ

4. Àêñèîìàòè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ ïî Öåðìåëî

5. Ïðîáëåìà ñóùåñòâîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû.

Введение

Ñîçäàíèå íîâûõ è äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ñóùåñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé ñâÿçàíî îáû÷íî ñ óòî÷íåíèåì (îáîáùå­íèåì) èõ èñõîäíûõ îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ïîñûëîê è îñíîâàííûõ íà íèõ ìåòîäîâ. Ìàòåìàòèêè íåðåäêî âñòðå÷àëèñü ñ òðóäíîñòÿìè, ïðåîäîëåòü êîòîðûå èì óäàâàëîñü òîëüêî ïîñëå ïðîäîëæèòåëüíûõ ïîèñêîâ. Ýòè òðóäíîñòè ðîñòà ìàòåìàòèêè — òðóäíîñòè å¸ îáîñíîâàíèÿ: îíè áûëè, åñòü è áóäóò â äàëüíåéøåì.

Òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè èãðàþò íàèáîëåå çíà÷èòåëüíóþ ðîëü â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè òîãäà, êîãäà âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â êîðåííîé ïåðåðàáîòêå îñíîâ è ìåòîäîëîãèè âñåõ (èëè äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ÷èñëà) ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò î êðèçèñå îñíîâ ìàòåìàòèêè. Èçâåñòíû òðè òàêèõ êðèçèñà.

Âïåðâûå êðèçèñ îñíîâ íàóê âîçíèê â ìàòåìàòèêå â äðåâíåé Ãðåöèè, â íà÷àëå å¸ ôîðìèðîâàíèÿ êàê íàó÷íîé ñèñòåìû. Âòîðîé èìåë ìåñòî â êîíöå XVII è â XVIII âåêå. Òðåòèé âîçíèê â êîíöå XIX âåêà, îí íå ïðåîäîëåí è â íàøå âðåìÿ è îêàçûâàåò âëèÿíèå íà ðàçâèòèå ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè.

Ìû ðàññìîòðèì ñóùíîñòü ýòèõ êðèçèñîâ ìàòåìàòèêè, èìåÿ â âèäó ïðåèìóùåñòâåííî ïîäòâåðæäåíèå âûâîäîâ, ñäåëàííûõ ðàíåå î çàêîíîìåðíîñòÿõ ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè êàê òåîðèè.

I. Способы обоснования математики в
древней Греции от Пифагора до Евклида.

1. Математика пифагорейцев

Ìàòåìàòèêà êàê òåîðèÿ ïîëó÷èëà ðàçâèòèå â øêîëå Ïèôàãîðà (571–479 ãã. äî í. ý.).

Ãëàâíîé çàñëóãîé ïèôàãîðåéöåâ â îáëàñòè íàóêè ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííîå ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè êàê ïî ñîäåðæàíèþ, òàê è ïî ôîðìå. Ïî ñîäåðæàíèþ — îòêðûòèå íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ. Ïî ôîðìå — ïîñòðîåíèå ãåîìåòðèè è àðèôìåòèêè êàê òåîðåòè÷åñêèõ, äîêàçàòåëüíûõ íàóê, èçó÷àþùèõ ñâîéñòâà îòâëå÷åííûõ ïîíÿòèé î ÷èñëàõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîðìàõ.

Äåäóêòèâíîå ïîñòðîåíèå ãåîìåòðèè ÿâèëîñü ìîùíûì ñòèìóëîì å¸ äàëüíåéøåãî ðîñòà.

Ïèôàãîðåéöû ðàçâèëè è îáîñíîâàëè ïëàíèìåòðèþ ïðÿìîëè­íåéíûõ ôèãóð: ó÷åíèå î ïàðàëëåëüíûõ ëèíèÿõ, òðåóãîëüíèêàõ, ÷åòûðåõóãîëüíèêàõ, ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêàõ. Ïîëó÷èëà ðàçâèòèå ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ îêðóæíîñòè è êðóãà. Íàëè÷èå ó ïèôàãîðåéöåâ ó÷åíèÿ î ïàðàëåëüíûõ ëèíèÿõ ãîâîðèò î òîì, ÷òî îíè âëàäåëè ìåòîäîì äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî è âïåðâûå äîêàçàëè òåîðåìó î ñóììå óãëîâ òðåóãîëüíèêà. Âåðøèíîé äîñòèæåíèé ïèôàãîðåéöåâ â ïëàíèìåòðèè ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïèôàãîðà. Ïîñëåäíÿÿ çà ìíîãî ñòîëåòèé ðàíüøå áûëà ñôîðìóëèðîâàíà âàâèëîíñêèìè, êèòàéñêèìè è èíäèéñêèìè ó÷åíûìè, îäíàêî å¸ äîêàçàòåëüñòâî èì íå áûëî èçâåñòíî.

Óñïåõè ïèôàãîðåéöåâ â ñòåðåîìåòðèè áûëè çíà÷èòåëüíûìè. Îíè çàíèìàëèñü èçó÷åíèåì ñâîéñòâ øàðà, îòêðûëè ïîñòðîåíèå ÷åòûðåõ ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâ — òåòðàýäðà, êóáà, îêòàýäðà è äîäåêàýäðà (èêîñàýäð èññëåäîâàë âïîñëåäñòâèè Ãåýòåò).

Îäíàêî îíè íå ñìîãëè îáîñíîâàòü óòâåðæäåíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê îáúåìàì òåë (ïèðàìèäû, êîíóñà, öèëèíäðà è øàðà), õîòÿ, êîíå÷íî, ýòè óòâåðæäåíèÿ áûëè óñòàíîâëåíû ýìïèðè÷åñêè ìíîãî âåêîâ ðàíüøå. Íå çíàëè ïèôàãîðåéöû è îòíîøåíèÿ ïîâåðõíîñòè øàðà ê áîëüøîìó êðóãó.  îáëàñòè àðèôìåòèêè ïèôàãîðåéöû èçó÷àëè ñâîéñòâà ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ, ïðîñòûõ è ñîñòàâíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, èñêàëè ñîâåðøåííûå ÷èñëà, ò. å. òàêèå, êîòîðûå ðàâíû ñóììå âñåõ ñâîèõ äåëèòåëåé (íàïðèìåð, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14). Ïî âèäèìîìó, îíè óñòàíîâèëè, ÷òî åñëè ÷èñëî 2^ï –1 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì, òî ÷èñëî 2^ï–1 ´(2^ï –1) — ñîâåðøåííîå. Ïèôàãîðåéöû çíàëè òàêæå äðîáíûå ÷èñëà è â ýòîé ñâÿçè ðàçðàáîòàëè òåîðèþ àðèôìåòè÷åñêîé è ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîïîðöèé. Îíè âëàäåëè ïîíÿòèÿìè ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî, ñðåäíåãî ãåîìåòðè÷åñ­êîãî è ñðåäíåãî ãàðìîíè÷åñêîãî.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--