Реферат: Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора
В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости :
распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному распределению, что и утверждается в ЦПТ.
Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения 
любого нормального закона непрерывна всюду на 
, утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:
Следствие.
Пусть 
— независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ.
· Для любых вещественных 
при 
имеет место сходимость
· Для любых вещественных при имеет место сходимость
· Для любых вещественных при имеет место сходимость
· Если 
— произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то
Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа.
Предельная теорема Муавра — Лапласа.
Пусть 
— событие, которое может произойти в любом из 
независимых испытаний с одной и той же вероятностью 
. Пусть 
— число осуществлений события в испытаниях. Тогда 
.
Иначе говоря, для любых вещественных при имеет место сходимость
Доказательство.
По-прежнему есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха :
Осталось воспользоваться ЦПТ.
Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ.
Пример 1 .
З а д а ч а. Монета подбрасывается 10000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.
Р е ш е н и е. Требуется найти 
, где 
, 
— число выпадений герба, а 
— независимые с. в., имеющие одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на 
и поделим на корень из дисперсии 
одного слагаемого.
Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра — Лапласа, последовательность
слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Рассмотрим произвольную с. в. , имеющую распределение 
.
Пример 2.
Прекрасным примером ЦПТ в экономике может служить ее использование в страховом деле. В большинстве случаев конкретный вид распределения потерь (размеров отдельных требований о выплате страховых сумм) не играет существенной роли, поскольку сумма исков, предъявляемых страховщику (величина суммарного иска), обычно зависит только от средней величины и дисперсии убытка. Дело в том, что если количество страховых случаев значительно превышает единицу, то в силу центральной предельной теоремы распределение суммарного иска является нормальным распределением. Обозначив его дисперсию как DZ , а математическое ожидание (среднее значение суммарного иска) как < Z> = < N>< Q>
- где <N>, <Q> - среднее значение числа страховых случаев и величины страховой выплаты, получаем следующее выражение для рисковой надбавки Тr :
Т r = [( Т 0 * a )/(< N > * < Q >)] * (< N > * D Q + < Q >2 * D N ) 0.5
- где DQ и DN -дисперсии величины страховой выплаты и количества страховых случаев.
В простейшем случае, когда все выплаты одинаковы (а, следовательно, их дисперсия равна нулю), имеем:
Т r = ( Т 0 * a )/ N 0.5