Реферат: Циліндр

Для того, щоб задати циліндр, досить задати його поснову і одну створюючих. Для цього достатньо, щоб яка – те твірна була перпендикулярно площини підстави, оскільки решта створюючих паралельна їй і теж будуть перпендикулярні до площини підстави. Циліндру можна дати і інше визначення.

Циліндр можна визначити як фігуру, утворену рівними і паралельними один одному відрізками, що йдуть зі всіх точок деякої плоскої фігури F в один бік від її площини α.

3. Перетини

Осьовий перетин.

4. Циліндр обертання

Прямим круговим циліндром називається прямий циліндр, основа якого – круг. Відрізок, що сполучає центри його основ, називається віссю циліндра. Вісь прямого кругового циліндра є його віссю обертання, а сам він – фігура обертання. Всі перетини прямого кругового циліндра площинами, паралельними площинам основ, є кругами з центрами на осі (по властивості 3). Площини цих кругів перпендикулярні осі.

Тому прямий круговий циліндр є фігурою обертання і його називають циліндром обертання. Він виходить обертанням прямокутника навколо сторони. Ці прямокутники називаються осьовими перетинами циліндра обертання. Створюючі циліндра обертання, витікаючі з точок кола підстави, утворюють його бічну поверхню.

Поверхня циліндра обертання називається об'єднання його підстав і бічної поверхні циліндра. Поверхню циліндра обертання іноді називають його повною поверхнею, підкреслюючи цим, що вона складається з бічної поверхні і двох підстав. Циліндр обертання симетричний щодо будь-якої площини, що проходить через його вісь, а також щодо площини, що ділить навпіл його створюючі. Циліндр обертання має центр симетрії – середину його осі.

5. Еліпс як перетин циліндра обертання.

Просту криву поверхню, саме круговий циліндр, можна отримати за допомогою простих кривих – кола і прямої – таким чином. Через одну з точок кола проведемо пряму, перпендикулярну до площини круга, і переміщатимемо її паралельною самій собі уздовж всього кола. Можна також отримати круговий циліндр, примусивши одну пряму обертатися навколо іншої прямої, що паралельної першої і служить для першою прямою віссю обертання. Таким чином, круговий циліндр є поверхня обертання. Поверхні обертання представляють важливий тип поверхонь; вони зустрічаються в практичному ужитку у вигляді стаканів, пляшок і т.д. Всі вони можуть бути охарактеризовані тим, що їх можна отримати шляхом обертання деякої плоскої кривої навколо осі, лежачої в її площині.

Площина, перпендикулярна до осі, перетинає круговий циліндр по колу; площина, похила до осі, дає в перетині, як в цьому можна безпосередньо переконатися, елліпсовідную криву. Покажемо, що ця крива дійсна еліпс. Для цього візьмемо кулю такого діаметру, щоб він в точності відповідав внутрішності циліндра, і пересуватимемо цю кулю усередині циліндра до зіткнення з січною площиною.

Поверхня, яка в деякій декартовій системі координат задається рівнянням

(13.18)

називається еліптичним циліндром, поверхня, яка задається рівнянням

(13.19)

називається гіперболічним циліндром, а яка задається рівнянням

(13.20)

називається параболічним циліндром.

Для того, щоб побудувати поверхню, що задається рівнянням (13.18), або рівнянням (13.19), або (13.20), досить намалювати на площині що направляє, рівняння якої на цій площині співпадає з рівнянням самої поверхні. Потім через крапки що направляє провести створюючі паралельно осі . Для наочності слід побудувати також одне - два перетини площинами, паралельними площині . У кожному такому перетині отримаємо таку ж криву, як і що початкова направляє. Зображення цих циліндрів перетинами приведені на малюнках 13.27, 13.29 і 13.31.

Мал.13.27.Зображення еліптичного циліндра за допомогою перетинів

Мал.13.29.Зображення гіперболічного циліндра за допомогою перетинів

Мал.13.31.Зображення параболічного циліндра за допомогою перетинів

6. Об'єм циліндра

Теорема: об'єм циліндра дорівнює добутку основи на висоту.

Доказ: Впишемо в даний циліндр Р радіусу r і висоти h правильну призму Fn, а в цю призму впишемо циліндр Pn. Позначивши через V і Vn об'єми циліндрів P і Pn, через rn – радіус циліндра Pn. Оскільки об'єм призми Fn, рівний Sn•h, де Sn – площа підстави призми, а циліндр Р містить призму Fn, яка, у свою чергу, містить циліндр Pn, то Vn <Sn•h <V ( нерівність 1). Будемо необмежено збільшити число n. При цьому радіус rn циліндра Pn прагнути до радіусу r циліндра Р (rn= r сos при n→ ∞). Тому об'єм циліндра Pn прагнути до об'єму циліндра Р: : limn→∞Vn = V. З нерівностей 1 витікає, що і limn→∞Sn. h = V. Але limn→∞Sn = πr 2. Таким чином:

V=πr2h (2).

Позначивши площу πr2 підстави циліндра буквою S, і з формули (2) отримуємо: