Комментаторы эпохи Возрождения предпочитали говорить, что точка есть место без протяжения. Современные авторы, напротив, признают невозможность определения основных понятий, и Давид Гильберт начинает «Основания геометрии» так:

Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем

За определениями Евклид приводит постулаты (I post. 1–5):

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

За постулатами следуют аксиомы (I ax. 1–9), которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам:

1. Равные одному и тому же равны и между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. (И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.)

5. (И удвоенные одного и того же равны между собой.)

6. (И половины одного и того же равны между собой.)

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. (И две прямые не содержат пространства.)

Аксиома параллельности Евклида

Аксиома параллельности Евклида , илипятый постулат – одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида:

Евклид различает понятия постулат и аксиома , не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. В классическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:

Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей.

Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, простых и интуитивно очевидных (см. Начала Евклида). Поэтому в течение 2 тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. «Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида». Несмотря на отрицательный результат, эти поиски не были напрасны, так как в конечном счёте привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.

Эквивалентные формулировки постулата о параллельных

В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных,эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу(за рубежом её часто называют аксиомой Плейфера):

В плоскости через точку, не лежащей на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

В этой формулировке слова «одну и только одну» часто заменяют на «только одну» или «не более одной», так как существование хотя бы одной такой параллельной сразу следует из теорем 27 и 28 «Начал» Евклида.