Реферат: Учение о параллельности. Открытие неевклидовой геометрии

Введение

Эвклид – древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу.

Достижения в математике

Главные труды Эвклида «Начала» (латинизированное назв. – «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включающего элементы пределов (Метод исчерпывания). В «Началах» Эвклид подытожил все предшествующие достижения греческой математики и создал фундамент для ее дальнейшего развития. Историческое значение «Начал» Эвклида заключается в том, что в них впервые сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиоматики. Основным недостатком аксиоматики Эвклида следует считать ее неполноту; нет аксиом непрерывности, движения и порядка, поэтому Эвклиду часто приходилось апеллировать к интуиции, доверять глазу. Книги XIV и XV являются более поздними добавлениями, но являются ли первые тринадцать книг созданием одного человека или школы, руководимой Эвклидом, не известно. С 1482 г. «Начала» Эвклида выдержали более 500 изд. на всех языках мира.

Первые четыре книги «Начал» посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей.

Книге I предпосланы определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: «Точка есть то, что не имеет частей». «Линия же – длина без ширины». «Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению точкам на ней». «Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину» и т.д.

За этими определениями следуют пять постулатов: «Допустим:

1) что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;

2) и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;

3) и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;

4) и что все прямые углы равны между собой;

5) и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных – самый знаменитый. Он нарочито чужероден, его громоздкая формулировка закономерно вызывает некоторое чувство протеста и желание отыскать для него доказательство, он всегда интриговал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить. Такие доказательства уже в древности пытались построить Птолемей и Прокл; а в Новое время из этих попыток развилась неевклидова геометрия. Следует отметить, что первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии и в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование.

Начала Евклида

Начала – главный трудЕвклида, написанный около 300 г. до н.э. и посвящённый систематическому построению геометрии. Начала – вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300-летнего развития и основа для последующих исследований.

Прокл сообщает, что подобные сочинения создавались и до Евклида: Начала были написаны Гиппократом Хиосским, а также платониками Леонтом и Февдием. Но эти сочинения, по-видимому, были утрачены ещё в античности.

Текст Начал на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Из античных комментариев до нас дошёл комментарий, написанный Проклом. Этот текст является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т. н. Евдемов каталог геометров), обсуждает взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль воображения в доказательствах.

Из древних комментаторов следует упомянуть Паппа, из новых – Пьера Рамуса, Федериго Коммандино, Христофа Шлюсселя (Клавиуса) и Савилия.

Начала оказали огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени. Книга переведена на множество языков мира. Так, на китайском языке первые 6 книг Начал издал Маттео Риччи во время своей миссии в Китае (1583–1610). По количеству переизданий Начала не имеют себе равных среди светских книг.

Альберт Эйнштейн так оценивал Начала : «Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением».

В Началах излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика, отношения по Евдоксу. В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13 книг. К ним традиционно присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, приписываемые Гипсиклу Александрийскому и школе Исидора Милетского.

Изложение в Началах ведётся строго дедуктивно. Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, напр., I def. 2 – второе определение первой книги.

Первая книга

1. Первая книга начинается определениями, из которых первые семь (I def. 1–7) гласят: Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия – длина без ширины.

3. Края же линии – точки.

4. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Края же поверхности – линии.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--