Реферат: Уравнения и способы их решения

1) ().

Уравнение имеет два действительных корня .

2) ().

Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня

.

3) ().

Уравнение имеет два действительных корния и два комплексных корня .

4) ().

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни: .

5) ().

Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня

.

6) ().

Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:

, .

Кубические уравнения

Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида

, где ,

оказались "крепким орешком". В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Начнем с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида

, где ,

разделить на , то коэффициент при станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения

. (11)

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь на и перегруппируем слагаемые:

. (12)

Мы видим, что надлежащим выбором , а именно взяв , можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:

.

Если здесь сделать замену , получим кубическое уравнение относительно без члена с :

.

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида

. (13)

Формула Кардано

Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

.

Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :

, или

.

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений

или

и взять в качестве сумму и . Заменой , эта система приводится к совсем простому виду:

Дальше можно действовать по-разному, но все "дороги" приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и - корни уравнения

.

Выпишем эти корни: