Реферат: В.Б. Кирьянов. Задача равновесий
На протяжении всех наших лекций сторочные латинские буквы с двумя значками будут обозначать одномерные величины или числа , те же буквы с одним значком - соответствующие векторы , а буквы без значков - матрицы или операторы . Причем всегда нижний значок матричных составляющих будет нумеровать строки , а верхний - столбцы .
3.Табличное представление. Задача затрат представляет собою задачу переработки m взаимозаменяемых видов “сложного” сырья в n видов “простых” изделий. В линейном случае ее технология задается n ´ m таблицей неотрицательных чисел a1 1 , ¼, an m :
al k [количество l- изделий / на единицу k- сырья] ³ 0 ;
l = 1, ¼ , n; k = 1, ¼ , m; m, n = 1, 2, ¼ ,
составляющих матрицу выпуска a . В целом, вместе с двумя парами векторов q 1 и p1 , и q 2 и p2 всех своих товаров, задача затрат описывается m ´n+2(m+n) величинами и естественно представляется в следующем табличном виде :
| q 1 1 ¼q 1 m | ||
p2 1 ¼ p2 n | a1 1 ¼a1 m ¼¼¼ an 1 ¼an m | q 2 1 ¼ q 2 n |
| p1 1 ¼p1 m |
Всякое производство, будь то разложение сырья или сборка изделий, является преобразованием сырья в изделия как в отношении их количеств, так и цен:
q 1 ; p1 | a ® | q 2 ; p2 , |
- и поэтому из 2m+2n его количественных и ценовых величин одна их половина предопределяет другую. Так, в задаче затрат нам задается рыночный спрос на выпускаемые изделия (план их производства) в виде неотрицательного вектора спроса изделий q2 с n составляющими:
q 2 l [количество. l-изделий] ³ 0; l = 1, ¼ , n,
а дополнительный ему вектор q 1 спроса на потребляемое сырье подлежит определению в условиях заданных цен - неотрицательного вектора закупочных цен сырья p1 с m составляющими
p1 k [рубли / за единицу k-сырья] ³ 0; k = 1, ¼ , m.
Заданные постоянные задачи называются, также, ее параметрами , а искомые неизвестные - переменными . Для отличения параметров задачи от ее переменных мы будем снабжать параметры дополнительным значком - ноликом “° “ сверху.
4.Количественная часть задачи затрат. Предложение изделий. В прямой части задачи затрат относительно заданных цен p1 на потребляемое сырье ищется наименее расходное значение его вектора спроса q 1 . По этой причине прямая часть задачи производственного управления называется, также, ее количественной частью .
Выпуская al k единиц l- изделий из каждой затрачиваемой единицы k- сырья, из q 1 1 , ¼ , q 1 m единиц сырья всех m видов изготовляют q 2 1 , ¼ , q 2 n :
q 2 1 = a 1 1 q 1 1 + ¼ + a 1 m q 1 m ;
¼
q 2 n = a n 1 q 1 1 + ¼ + a n m q 1 m ,
единиц изделий каждого вида. Количества предлагаемых изделий каждого вида представляются линейными функциями q 2 l = q 2 l (q 1 ):
q 2 l = q 2 l (q 1 ) = áa l , q 1 ñ ; l = 1, ¼ , n ,
количеств затрачиваемого сырья в виде скалярных произведений áa l , q 1 ñm- мерного столбцового вектора q 1 затрат сырья с m- мерными строчными векторами a1 , ¼ , a n матрицы затрат a :
a1 = ( a1 1 ¼ a 1 m ) ,
¼
an = ( an 1 ¼ a n m )
- векторами выпуска изделий каждого вида из всего ассортимента потребляемого сырья.
В обычных матричных обозначениях набор линейных функций q 2 l = q 2 l (q 1 ) образует n- мерный столбцовый вектор предложения изделий q 2 . Матричное представление полученных балансовых соотношений:
q 2 = | a1 1 ¼a1 m ¼¼¼ an 1 ¼an m | q 1 1 ¼ q 1 m | = a q1 |
описывает осуществляемый m ´n матрицей выпуска a линейное преобразование m количеств потребляемого сырья всех видов в n количества производимых из него изделий.
5.Множество допустимых планов. Допустимыми являются такие закупки сырья q 1 , при которых предложение производимых из него изделий q 2 удовлетворяет заданному на них спросу q 2 :
q 2 = a q 1 ³ q 2 , или: предложение удовлетворяет спрос. |
Полученные ограничения:
a 1 1 q 1 1 + ¼ + a 1 m q 1 m ³ q 2 1 ;
¼
a n 1 q 1 1 + ¼ + a n m q 1 m ³ q 2 n ,
являются прямыми или количественными необходимыми условиями равновесия . Их решения называются множеством допустимых планов задачи.
Как мы увидим позднее (см. ), множество решений полученной системы неравенств, вообще говоря, неоднозначно, допуская любое неотрицательное перепроизводство изделий Dq 2 :
Dq 2 ºq 2 - q 2 ³ 0 .
6.Равновесное потребление сырья. Издержки данного производства, то есть стоимость приобретаемых по заданным закупочным ценам p1 1 , ¼ , p1 m потребных количеств q 1 1 , ¼ , q 1 m всех видов сырья, образует их линейную функцию L(q 1 ) :
L(q 1 ) = p1 1 q 1 1 + ¼ + p1 m q 1 m = á p1 , q 1 ñ ,
называемую функцией стоимости , а также целевой функцией рассматриваемой задачи. Количественная часть задачи равновесного управления состоит в отыскании на области допустимых планов закупок сырья план закупок q 1 наименьшей стоимости L(q 1 ) :
q 1 : á p1 , q 1 ñ = min á p1 , q 1 ñ q1 |a q 1 ³ q 2 . |
Минимизирующее функцию стоимости задачи допустимое значение искомого вектора q 1 называется его равновесным значением или, еще, оптимальным планом задачи, а полученная задача - задачей равновесного (или, что то же самое - оптимального ) производственного управления . В общем случае требование минимизации стоимости обеспечивает единственность ее решения.
1.2. Ценовая часть задачи затрат
1.Оценивание изделий. В условиях того же самого производства:
| q 1 1 ¼q 1 m | ||
p2 1 ¼ p2 n | a1 1 ¼a1 m ¼¼¼ an 1 ¼an m | q 2 1 ¼ q 2 n |
| p1 1 ¼p1 m |
- одновременно с веществом сырья на выпускаемые из него изделия переносится и его стоимость и возникает двойственная задача оценки сырья ценами производимых из него изделий, называемая, также, ценовой частью задачи затрат .
Действительно, изготовление из единицы сырья вида k: k=1, ¼ , m, al k штук изделий каждого вида l: l=1, ¼ , n, по ценам p2 l за штуку сообщает сырью стоимости p1 k :
p1 1 = p2 1 a1 1 + ¼ + p2 n an 1 = á p2 , b 1 ñ ;
. . .
p1 m = p2 1 a1 m + ¼ + p2 n an m = á p2 , b m ñ.
в виде линейных функций
p1 k = p1 k (p2 ) = á p2 , b k ñ
цен производимых из них изделий, в совокупности образующих m -мерный строчный вектор ценности сырья p1 . Коэффициентными векторами этих линейных функций служат столбцы b1 , ¼ , bm той же самой матрицы затрат a:
b 1 = | a1 1 ¼ an 1 | ; . . . , b m = | a1 m ¼ an m |
- векторы выпуска ассортимента изделий из сырья каждого вида.
Полученные ценовые балансовые соотношения:
p1 = ( p1 1 ¼ p1 1 ) | a1 1 ¼a1 m ¼¼¼ an 1 ¼an m | = p 2 a, |