Реферат: В.Б. Кирьянов. Задача равновесий

- времени работы нескольких видов промышленного оборудования,

- времени работы рабочих нескольких специальностей,

и им подобные задачи.

При использовании m видов сырья для производства n видов изделий во всех задачах выпуска процесс производства описывается матрицей затрат c, составляющие которой

c_i ^j [количество i-сырья / на единицу j-изделия] ³ 0 ,

имеют обратные количественные размерности по отношению к количественным размерностям матрицы выпуска a : [ a_j ⁱ ] = количество j-изделий / на единицу i-сырья.

В условиях заданного вектора предложения сырья q ¹ и заданных цен p₂ на производимые изделия в количественной (прямой) части обратной задачи ищется наиболее доходное предложение (план производства) изделий q ² , а в ценовой (двойственной) части - наименее расходные цены p₁ потребляемого сырья:

q 2 1 ¼q 2 n
p1 1 ¼ p1 m	c1 1 ¼c1 n ¼¼¼ cm 1 ¼cm n	q 1 1 ¼ q 1 m
p2 1 ¼p2 n

Формальным отличием приведенной таблицы от таблицы предыдущей задачи является, как мы видим, замена сырьевых переменных "издельными" и наоборот.

2.Количественная часть задачи выпуска. В условиях затрат c_i ^j единиц i- сырья на каждую единицу производимого j- изделия, на выпуск q ² ₁ , ¼ , q ² _n единиц изделий всех n видов потребуется q ¹ ₁ , ¼ , q ¹ _m :

q ¹ ₁ = c₁ ¹ q ² ₁ + ¼ + c₁ ⁿ q ² _n ºác₁ , q ² ñ ;

. . .

q ¹ _m = c_m ¹ q ² ₁ + ¼ + c_m ⁿ q ² _n ºác_m , q ² ñ ,

единиц сырья каждого вида. n- мерные строки матрицы затрат, служащие коэффициентами балансовых соотношений:

c₁ = ( c₁ ¹ ¼ c₁ ⁿ );

. . .

c_m = ( c_m ¹ ¼ c_m ⁿ ),

есть векторы затрат сырья каждого вида на весь ассортимент производимых из него изделий. Матричное представление полученных балансовых соотношений:

q ¹ = q ¹ (q ² ) = c q ² ,

описывает линейный процесс пересчета предложения выпускаемых изделий в спрос на потребляемое для их производства сырье.

Допустимым является такое предложение изделий, при котором спрос на потребляемое сырье не превосходит его предложения:

q ¹ = c q ² £ q ¹ .

Доход такого производства, выражаемый стоимостью M(q ² ) продаваемых по ценам p₂ предлагаемых количеств изделий:

M(q ² ) = p₂ ¹ q ² ₁ + ¼ + p₂ ⁿ q ² _n ºáp₂ , q ² ñ,

называется функцией стоимости количественной части обратной задачи. Сама же задача состоит в том, чтобы на множестве ее допустимых планов производства найти план наибольшей стоимости:

q 2 : áp2 , q 2 ñ= max á p2 , q 2 ñ q 2 ½c q 2 £ q 1

.

В сущности, все задачи равновесного управления являются определениями равновесных значений своих искомых неизвестных.

3.Ценовая часть задачи выпуска. Одновременно, затраты на каждую единицу j- изделия c_i ^j единиц сырья всех m видов по ценам p₁ ⁱ : i=1, ¼ , m, сообщают выпускаемым изделиям цены p₂ ¹ , ¼ , p₂ ⁿ :

p₂ ¹ = p₁ ¹ c₁ ¹ + ¼ + p₁ ^m c_m ¹ ºáp₁ , d ¹ ñ ;

. . .

p₂ ⁿ = p₁ ¹ c₁ ⁿ + ¼ + p₁ ^m c_m ⁿ ºáp₁ , d ⁿ ñ .

m- мерные столбцовые векторы матрицы затрат:

d 1 º

c1 1 ¼ cm 1

, ¼ , d n º

c1 n ¼ cm n

,

есть векторы затрат сырья на выпуск изделия каждого вида. Ценовые балансовые соотношения

p₂ = p₂ (p₁ ) = p₁ c

описывают осуществляемое матрицей затрат двойственное линейное преобразование цен потребляемого сырья в цены производимых из них изделий.

При заданных продажных ценах изделий вложенное в них сырье приобретает ценность, не меньшую ценности выпускаемых из него изделий:

p₂ = p₁ c ³ p₂ .

Как и в задаче затрат полученные ценовые условия равновесия выражают необходимое условие продаж: покупка готовых изделий не должна быть дороже их самостоятельного изготовления.

Стоимость расходуемого сырья:

M^dual (p₁ ) = p₁ ¹ q ¹ ₁ + ¼ + p₁ ^m q ¹ _m ºáp₁ , q ¹ ñ,

составляет расход производства. Ищутся допустимые цены сырья, сообщающие его стоимости наименьшее значение:

p1 : á p1 , q 1 ñº min á p1 , q 1 ñ p1 ½p1 c ³ p2 .

4.Каноническая пара задач. Итак, мы описали все четыре линейные статические задачи равновесного производственного управления:

q 1
- пару задач затрат:	p2	a	q 2	:
p1

с прямой задачей оптимального планирования закупок сырья :

q ¹ : min áp₁ , q ¹ ñпри a q ¹ ³ q ² ,

и двойственной ей задачей оптимального планирования цен выпускаемых изделий :

p₂ : max áp₂ , q ² ñпри p₂ a £ p₁ ;

q 2
- и пару задач выпуска:	p1	с	q 1	:
p2

с прямой задачей оптимального планирования выпуска изделий :

q ² : max á p₂ , q ² ñ при c q ² £ q ¹ ,

и ей двойственной задачей оптимального оценивания сырья :

p₁ : min á p₁ , q ¹ ñ при p₁ c ³ p₂ .

Как мы видим, обе задачи обладают "перекрестной" симметрией и формально, то есть безотносительно к экономическому содержанию, прямая и обратная пары задач тождественны друг другу с точностью до - 1)- переобозначения своих величин и -2)- перестановки между собой их взаимно-двойственных частей:

min á p₁ , q ¹ ñ при a q ¹ ³ q ² max á p₂ , q ² ñ при c q ² £ q ¹ ,

max á p₂ , q ² ñ при p₂ a £ p₁ min á p₁ , q ¹ ñ при p₁ c ³ p₂ .