Реферат: Векторна функція скалярного аргументу Похідна її геометричний і механічний зміст Кривизна кри

,

тому

. (7.9)

Рис.7.4 Рис.7.5

Приклади.

1. Знайти диференціал дуги циклоїди

.

Р о з в ’ я з о к. .

.

2. Знайти диференціал дуги кардіоїди .

Р о з в ’ я з о к. ,

.

Диференціал дуги просторової кривої, заданої параметричними рівняннями , можна знайти аналогічно.

Відміна від попереднього полягає лише в тому, що довжина хорди, яка з’єднує точки просторової кривої і визначається за формулою

.

Формула диференціала дуги просторової кривої

. (7.10)

Приклад. Знайти диференціал дуги гвинтової лінії:

.

Р о з в ’ я з о к. .

.

Формулам (7.9) і (7.10) часто надають такого вигляду :

(для плоскої кривої); (7.11 (для просторової кривої); (7.12)

Диференціал дуги плоскої кривої має такий геометричний зміст: він дорівнює довжині відрізка дотичної до кривої (рис.7.5).

2 .Кривизна плоскої кривої

Вивчаючи ту чи іншу криву, бачимо, що в різних точках вона має неоднаковий ступінь викривлення. Так, парабола поблизу початку координат більше викривлена, ніж в точках, які знаходяться далі від початку координат. Коло в усіх своїх точках має однакове викривлення. Різні криві також відрізняються одна від одної своїм ступенем викривлення. Коло малого радіуса більше викривлено, ніж коло великого радіуса.

Виникає запитання: що ж брати за міру кривизни кривої в її окремих точках? Щоб відповісти на нього, припустимо, що до кривої в кожній точці можна провести дотичну і що крива є спрямлюваною.