Реферат: Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

Отримана при цьому додаткова інформація може бути використана для побудови скалярної цільової функції , оптимізація якої на множині Парето-оптимальних рішень приводить до вибору єдиного оптимального варіанта системи

. (11)

Загальна вимога до функції зводиться до того, щоб вона була монотонною (зростаючою чи спадною) по кожному зі своїх аргументів.

Існують як об'єктивні, так і суб'єктивні підходи до побудови такої функції. У ряді випадків на основі розгляду призначення системи, що проектується у складі більш складної надсистеми (комплексу), об'єктивними методами може бути встановлено взаємозв'язок показників якості системи з якимось показником якості надсистеми у вигляді відповідної функції . Проте у більшості випадків об'єктивно ввести таку функцію не вдається і доводиться вдаватись до її побудови значною мірою суб'єктивними методами. Розглянемо деякі з них.

Вибір оптимальних рішень з використанням функцій цінності. Одним із широко використовуваних методів звуження множини Парето-оптимальних рішень є використання скалярної функції цінності (корисності), оптимізація якої веде до вибору одного з оптимальних варіантів системи. Числову функцію називають функцією цінності для відношення строгої переваги , якщо для довільних оцінок , у просторі нерівність має місце тоді і тільки тоді, коли. Припустимо, що відношення строгої переваги задовольняє аксіому Парето. При цьому із нерівності випливає відношення ,що означає , тобто функція цінності , є зростаючою за відношенням . Якщо існує функція цінності , то оптимальна оцінка знаходиться шляхом максимізації цієї функції на множині Парето

. (12)

Тобто відшукання оптимальної оцінки зводиться до розв'язання задачі скалярної оптимізації функції багатьох змінних .

При цьому можуть бути побудовані адитивна, мультиплікативна, полінійна функції цінності.

Процедура утворення функції цінності інколи називається згорткою векторного критерію .

Операція згортки можлива, якщо:

- частинні критерії кількісно сумарні по важливості, тобто кожному з них відповідає певне число , яке визначає його відносну важливість відповідно до інших критеріїв;

- частинні критерії є однорідні, тобто кількісно порівнюються в одній вимірності.

Існують різноманітні форми подання узагальненого скалярного критерію та вибору відповідних оптимальних рішень. Зокрема, це такі способи згортки частинних критеріїв:

- формується узагальнений критерій, чисельник якого складає добуток критеріїв, які підлягають максимізації, а знаменник - добуток критеріїв, які підлягають мінімізації;

- формується узагальнений критерій з використання елементів теорії адитивної корисності, тобто підсумовування частинних критеріїв за певною вагою коефіцієнтів вибору чисельника і знаменника;

- формується узагальнений критерій відносно всіх частинних критеріїв.

Узагальнена функція цінності може набирати такого вигляду

, (13)

де - одновимірні функції цінності, що характеризують цінність системи за -м показником якості; - шкалюючі коефіцієнти.

Задача побудови функції (13) зводиться до оцінки коефіцієнтів , вибору виду функцій , перевірки їх незалежності за перевагою , перевірки узгодженості побудованої функції цінності. У ряді випадків може