Реферат: Випадкові процеси та одновимірні закони розподілу ймовірностей

(16)

Момент другого порядку

(17)

Взаємозв'язок між формою закону розподілу ймовірностей та його числовими характеристиками стає більш наочним при використанні поняття центрованої випадкової величини. Випадкова величина називається центрованою, якщо її середнє значення дорівнює нулеві.

Отже, випадкова величина центрується відніманням від неї середнього значення :

(18)

Із (18) випливає, що центрування випадкової величини є рівнозначне зміщенню початку координат на графіку одновимірної густини розподілу ймовірностей на величину вздовж осі абсцис і не приводить до деформації закону розподілу. Сказане ілюструє рис. 4.

Рисунок 4 – Центрування випадкової величини

Ha відміну від початкових моментів, які визначають за формулою (11), моменти центрованої величини називають центральними моментами.

Центральний момент ro порядку визначають за формулою:

(19)

Центральний момент першого порядку центрованої випадкової величини завжди дорівнює нулеві за означенням:

. (20)

Центральний момент другого порядку

(21)

Із (21) випливає, що другий центральний момент можна визначити через початкові моменти таким чином:

(22)

Цей момент характеризує розсіювання можливих значень випадкової величини відносно її середнього значення і називається дисперсією. Стосовно електричних сигналів дисперсія характеризує потужність відхилень випадкової величини від середнього значення, яка виділяється на навантаженні в 1 Ом.

Часто використовують таке позначення дисперсії:

. (23)

Величину , що дорівнює додатному значенню кореня квадратного з центрального моменту другого порядку, називають середнім квадратичним відхиленням випадкової величини .

Розмірність збігається із розмірністю випадкової величини і тому її можна використовувати для оцінювання ширини кривої густини розподілу ймовірностей: чим більше значення , тим ширшим є графік функції .

На основі ансамблю з реалізацій випадкового процесу статистичне визначення дисперсії проводимо за формулою:

(24)

Визначимо перший та другий центральні моменти для рівномірного та експоненційного законів (табл.1 та 2).

Рівномірний закон. Оскільки математичне сподівання для цього випадку дорівнює нулеві, то обидва центральні моменти збігаються з початковими моментами, тобто