Реферат: Випуклість і вгнутість графіка функції точки перегину Асимптоти графіка функції Схема дослідж

8. Знайти інтервали вгнутості та опуклості кривої, яка є графіком функції.

9. Знайти точки перетину і побудувати їх на площині.

10. Знайти асимптоти графіка функції.

11. Побудувати графік функції.

Приклад. Дослідити функцію та побудувати її графік.

Р о з в ’ я з о к.

1. Оскільки задана функція дробово-раціональна, то вона не існує в точках, де знаменник дорівнює нулю:

,

звідки .

Отже, область існування є об’єднання множин .

2. Нехай , тоді . Нехай , тоді . Отже, графік перетинає координатні осі в точці , тобто графік проходить через початок координат.

3. Функція не періодична. Проте вона є непарною, тому розглядатимемо тільки .

4. Чисельником і знаменником є многочлени, неперервні на всій числовій осі. Тому точкою розриву при є тільки одна точка . Дослідимо її характер. Знайдемо односторонні границі

.

Отже, є точка розриву другого роду; пряма є вертикальною асимптотою.

5. Досліджуємо функцію на кінцях проміжків, вона визначена. В точці ми її дослідили, тепер знайдемо

.

6. Обчислимо

.

Розв’яжемо нерівність :

.

Звідси, в інтервалі функція зростає, а в інтервалах - спадає.

7. Знайдемо екстремальні точки. Розв’яжемо рівняння :

,

звідки матимемо стаціонарні точки .

При переході через точку похідна знака не змінює, а при переході через точку - змінює знак “-” на “+”. Тому не є екстремальною точкою, а є точкою мінімуму:

.

8. Знаходимо інтервали вгнутості та опуклості графіка функції

.

Розв’яжемо нерівність :

.

Ця нерівність справджується при . Отже, в інтервалі крива вгнута, а в інтервалі - опукла.

9. Знаходимо точку перегину. Для цього розв’язуємо рівняння : , звідки .

При проходженні через точку похідна змінює знак “+” на “-”. Точка є точка перегину.

10. Знаходимо похилі асимптоти:

;

.

Отже, .

Рівняння похилої асимптоти: .