Реферат: Визначення емпіричних закономірностей

x_n

y

y ₁

y ₂

y ₃

…

…

y_n

Виходячи із змісту розглядуваних явищ, припускаємо, що між цими величинами існує певна функціональна залежність . Метод найменших квадратів (метод Гауса) полягає в тому, що треба знайти такі параметри функціональної залежності , щоб сума квадратів відхилень фактичних даних від вирівняних була найменшою (рис. 1).

Рис. 1

(6)

де - фактичні (дослідні) значення;

- вирівняні значення.

Застосуємо цей метод для визначення параметрів функціональних залежностей.

а) Нехай між даними прямопропорційна залежність, тобто теоретична крива, за допомогою якої будемо вирівнювати емпіричну залежність між цими величинами має такий вигляд:

(7)

Тоді (6) запишеться у вигляді:

.

Як видно, ця сума залежить від . Вона буде мінімальна тоді, коли похідна по змінній дорівнює нулю, тобто:

Скоротимо це рівняння на -2:

;

,

звідки

.

Підставимо значення в рівняння (7), дістанемо:

. (8)

б) Нехай функціональна залежність має такий вигляд: . Підставивши в рівняння (6) замість відповідно , дістанемо: . У цій формулі невідомі коефіцієнти і . Знайдемо значення і , при яких функція матиме мінімальне значення. Щоб знайти ці значення, візьмемо частинні похідні по і та приведемо їх до нуля. Розв’язок здобутої системи рівнянь дає ті значення, при яких дана сума мінімальна.