Реферат: Вычисление элементарных функций
2) вычисление элементарной функции на интервале аппроксимации;
3) пост-обработка.
Задача проектирования алгоритма вычисления элементарной функции сводится к нахождению алгоритма приведения аргумента к интервалу аппроксимации и выбору численного метода для приближенного вычисления значений этой функции на интервале аппроксимации. Приведение аргумента к интервалу аппроксимации является обязательным этапом как при использовании итеративных методов вычисления элементарных функций, так и при многочленной и рациональной аппроксимации. Этот прием позволяет сократить число операций необходимых для вычисления значения элементарной функции за счет уменьшения количества итераций или использования многочленных и рациональных приближении, содержащих сравнительно небольшое число членов.
Способ уменьшения интервала изменения аргумента зависит от свойств функции. Если функция периодическая, то имеет смысл вычислять ее только на одном периоде изменения аргумента. Если функция симметричная, то это свойство также можно использовать для уменьшения интервала. Существует распространенный прием уменьшения диапазона изменения аргумента, который основывается на использовании теорем сложения и умножения элементарных функций. Одним из наиболее простых и универсальных приемов является разбиение всего диапазона изменения на ряд интервалов (сегментная аппроксимация). Обычно аргумент приводят к интервалу [- 1, 1 ] или [ 0, 1]. Такой выбор объясняется наилучшей изученностью поведения функции на этих интервалах, возможностью работы в режиме с фиксированной точкой, наличием точки нуль, которая для многих функций является осью симметрии, и тем, что на данных отрезках существуют ортогональные многочлены.
Этапы приведения аргумента к интервалу аппроксимации и постаброботки специфичны для каждой элементарной функции и мало зависит от выбранного метода вычислений. Наибольшую часть выполнения которого зависит прежде всего от выбранного метода вычисления элементарной функции. Метод должен обладать высокой скоростью сходимости и требовать для своей реализации минимального количества арифметических операций, обеспечивать заданную точность вычисления значений элементарной функции, быть универсальным.
Метод вычисления элементарных функций можно разделить на две группы: алгоритмические и таблично алгоритмические. Методы первой группы основаны на чисто алгоритмических приемах вычислений, которые начинаются “с нуля” и вследствие этого требуют значительных затрат машинного времени. К ним относятся и терационные, полиномиальные методы, в том числе, степенные ряды и др.
Отличительной особенностью таблично алгоритмических методов является использование в той или иной мере предварительно вычисленных табличных значений. Эти методы находят широкое применение для программной и аппаратурной реализации.
4. Теоретические основы таблично алгоритмического метода
В основе методов, основанных на применении таблиц, лежит разбиение интервала аппроксимации на промежутки h (шаг таблицы), длина которых выбирается пропорционально основанию используемой системы счисления. Значения функций, подлежащей реализации, предварительно вычисляются для концов промежутков и заносятся в таблицу, роль которой выполняет ПЗУ. Однако данный подход кроме значительной емкости ПЗУ трудно реализовать вследствие значительности объема предварительных вычислений.
В связи с этим широкое применение в настоящее время нашли таблично алгоритмические методы вычислений, сочетающие поиск по таблице с грубым значением аргумента и введением поправок на точное значение. При определении поправки, характерной для данных методов, может использоваться следующая формула:
F(x)=F(xs +D xn-s )= F(xs )+Ф(D xn-s , xs ),
где xs – s-разрядный код старшей части аргумента Х,
0£D xn-s <2-s – (n-s)-разрядный код младшей части аргумента Х,
F(xs ) – табличное значение функции F(x) для точки xs,
Ф(D xn-s , xs ) – поправка.
В данном случае величина s, являясь разрядностью аргумента xs , задает значение шага таблицы h=2-s , а также количество табличных значений функции F(xs ), равное 2s . Поправки Ф(D xn-s , xs ) определяются в процессе работы микроЭВМ. Их находят с помощью различных методов, к которым, прежде всего, относятся: разложение в степенные ряды, цепные дроби, дробно рациональные приближения, интерполирование, численное интегрирование, итерационные процессы.
Принципы использования частных методов вычисления поправок, основанных на применении известных тождеств для каждой конкретной элементарной функции. Этот подход характеризуется точностью базовой формулы, зависимостью поправки для большинства элементарных функций только от младшей части аргумента. Чаще всего данный метод является нерациональным из-за значительного числа дополнительных операций.
Формула для вычисления значения F(x) на интервале (xs, xs +h) с использованием ряда Тейлора имеет следующий вид:
F(x)= F(xs ) + 
D xn-s /k!)*F(k) ( xs ),
где m – количество членов ряда , D xn-s =x - xs ,
F(k) ( xs ) – значение k-ой производной функции F(x) в точке xs .
Методическая погрешность приведенного алгоритма можно оценить по формуле:
eм £((D xn-s )m+1 /(m+1)!)*F(m+1) max
где F(m+1) max – максимальное значение (m+1)-ой производной функции F(x) на интервале (xs, xs +h).
Формула для вычисления значения F(x) на интервале (xs, xs +h) с помощью линейной интерполяции имеет следующий вид:
F(x)= F(xs ) + (D xn-s /h)*(F(xs, xs +h) - F(xs ))
Методическая погрешность приведенного алгоритма можно оценить по формуле:
eм £(D xn-s (D xn-s – h)/2)*F(2) max
Формулы для вычисления погрешностей:
- полной e = Fэт (х) - Fm (xm )/Mf