Реферат: Вычисление элементарных функций

- вычислительной e_в = F_эт ^* - F_m (x_m )/M_f

5. Расчет параметров алгоритма

Одной из задач проектирования алгоритмов таблично алгоритмических методов является удовлетворение требований по времени вычисления элементарной функции в микроЭВМ и точности вычислений, которая обусловлена заданной разрядностью представления аргумента.

Требование по времени t_доп можно выполнить, ограничивая такие параметры численных методов как число членов ряда, полинома, цепной дроби, шагов итераций и т. п. При этом учитывается время выполнения в микро-ЭВМ арифметических, логических и других используемых операций.

Необходимая точность вычислений обеспечивается путем выполнения баланса методической и вычислительной погрешностей алгоритма в виде условия e_м = e_в где в качестве e_в выступает ее минимальное значение 2^{-( n+1)} .

В случае разложения в ряд Тейлора баланс погрешностей имеет вид:

((D x_n-s )^m+1 /(m+1)!)*|F^(m+1) _max | = 2^{-( n+1)}

Учитывая что D x_n-s = 2^-s имеем:

S ³ (n + 1 - log₂ ((m+1)!)/|F^(m+1) _max |)/(m+1)

Для большинства элементарных функций зависимость s(m) хорошо аппроксимируется соотношением:

S ³ (n + 1 – 2m*log₂ e)/(m+1)

Следовательно, по известной разрядности аргумента n и количеству членов ряда m можно оценить минимальную разрядность s старшей части аргумента X, обеспечивающую требуемый баланс методической и вычислительной погрешностей.

В случае использования кусочно-линейной интерполяции баланс погрешностей имеет вид:

(D x_n-s |D x_n-s – h|/2)*|F⁽²⁾ _max | = 2^{-( n+1)}

Поскольку h=2^-s , то левая часть этого неравенства достигает максимального абсолютного значения при D x_n-s = 2^-(s+1) .Тогда

2^-2s *|F⁽²⁾ _max |/ 8 = 2^{-( n+1)}

Отсюда окончательно получаем:

S ³ (n + log₂ |F⁽²⁾ _max | - 2)/2

Величина s является тем параметром, который обеспечивает баланс методической и вычислительной погрешностей, а также определяет не только разрядность старшей части аргумента Х, но и значение шага таблицы h = 2^-s и количество табличных значений функции F(x_s ) равное 2^s .

5.1. Расчёт величины S и h

y=sh(x) - исходная функция

Найдем первую и вторую производную y

y'=ch(x) у''=sh(x)

|f'_max | = 1.128 |f''_max | = 0.521

Зная |f''_max | найдем s и h

S ³ (n + 1 - log₂ ((m+1)!)/|f^(m+1) _max |)/(m+1) , где n = 8 и m =1

Вычисляя получим s = 4

Тогда h = 2^-s = 2^-4 = 0.0625

5.2.Выбор масштабных коэффициентов

М_f(x) = = 2⁶ M_{D x} = = = 2⁶

M_f(xs) = = 2⁶ M_{f '( x )} = = 2⁵ M_x ==2⁷

6.Масштабирование алгоритма

f(x) = f(x_s ) + D x_n-s ×f'(x_s ),