Реферат: Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы

Если точки, в которых вычисляются значения подынтегральной функции, определены условиями удобного положения или простотой вычисления в них, то в квадратурной формуле число слагаемых будет равно числу параметров. Если положения точек тоже взяты в качестве параметров, то число слагаемых может оказаться и вдвое меньше. В квадратурную формулу можно ввести также значения производных подынтегральной функции в заданных точках, если вычисление производных проще, чем вычисление функции.

Когда все условия построения квадратурной формулы оговорены, то, используя метод неопределенных коэффициентов (параметров), составляют систему алгебраических уравнений путем подстановки в интеграл и квадратурную формулу базисных функций. Так как число их равно числу параметров, то система будет определена.

2. Построение квадратурных формул с плавающими узлами

В качестве примера найдем квадратурную формулу с тремя плавающими узлами для функций , принадлежащих множеству , где n =5.

Формула должна иметь 3 слагаемых с шестью параметрами. Интервал интегрирования возьмем .

где - неизвестные весовые коэффициенты,

- неизвестные узловые точки, в которых должна

вычисляться подынтегральная функция.

Вычисляются определенные интегралы для множества базисных функций:

Подстановка базисных функций в выражение с параметрами и их приравнивание соответствующим значениям интегралов от базисных функций приводит к следующей системе нелинейных уравнений:

Решение таких уравнений основано на существовании двух канонических форм записи нулей степенных уравнений:

где - коэффициенты, выражаемые через корни .

И первая и вторая формы обращаются в нуль, если .

Чтобы выделить из системы уравнений узловые многочлены, умножим первые 4 уравнения системы на коэффициенты из левой колонки и найдем их сумму, затем умножим соответствующие уравнения на среднюю колонку и найдем их сумму и, наконец, - на правую колонку и тоже просуммируем:

Все взятые в круглые скобки узловые многочлены обязаны быть равными нулю, так как в них подставлены значения узлов , в которых многочлен обязан обращаться в нуль. Поэтому правые части уравнений равны нулю и после подстановки в левые части числовых значений для получается система линейных алгебраических уравнений относительно пока неизвестных констант :

.

Последнее вытекает из неравенства нулю определителя однородного уравнения. Таким образом, узловые точки, в которых будут вычисляться значения подынтегральной функции, находятся из кубического уравнения:

Корни легко находятся и равны следующим значениям:

.

Теперь остается найти весовые коэффициенты, для чего в первые 3 уравнения подставим найденные значения узловых точек: