Реферат: Задачи линейной алгебры

можно рассматривать как блочную матрицу

элементами которой служат следующие блоки:

Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.

Понятие определителя.

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка п:

A = (1.7)

С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.

Если порядок n матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемен-та а_{i j} определителем первого порядка соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента.

Если далее порядок п матрицы (1.7) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид

A = (1.8)

то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное а₁₁ а₂₂ — а₁₂ а₂₁ и обозначаемое одним из символов:

Итак, по определению

(1.9)

Формула (1.9) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.8), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали. Определители второго и более высоких порядков находят широкое применение при решении систем линейных уравнений.

Рассмотрим, как выполняются операции с матрицами в системе MathCad. Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCad в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотрим матричные и векторные операции MathCad 2001. Векторы являются частным случаем матриц размерности n x 1, поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например, некоторые операции применимы только к квадратным матрицам n x n). Какие-то действия допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а какие-то, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

Рис.1 Панель инструментов Матрицы

Для ввода матрицы:

введите имя матрицы и знак присваивания (двоеточие)

щелкните по значку “создать матрицу” в панели “Матрицы”.

После нажатия кнопки OK открывается поле для ввода элементов матрицы. Для того, чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в отмеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение.

Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно:

выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции,

или щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.

Меню “Символы” содержит три операции - транспонирование, инвертирование, определитель.

Это означает, например, что вычислить определитель матрицы можно, выполнив команду Символы/Матрицы/Определитель.

Номер первой строки (и первого столбца) матрицы MathCAD хранит в переменной ORIGIN. По умолчанию отсчет ведется от нуля. В математической записи чаще принято вести отсчет от 1. Для того, чтобы MathCAD вел отсчет номеров строк и столбцов от 1, нужно задать значение переменной ORIGIN:=1.

Функции, предназначенные для работы с задачами линейной алгебры, собраны в разделе “Векторы и матрицы” диалога “вставить функцию” (напоминаем, что он вызывается кнопкой на панели “Стандартные”). Основные из этих функций будут описаны позже.

Транспонирование

Сложение