Реферат: Задачи синтеза оптимальных систем управления

где А - функция, которая не зависит от а ; В - функция, которая зависит от а ; С - функция, которая зависит от а² .

Найдем экстремум по параметру а

к ( t) -оптимально если а = 0 т.е. В = 0.

Откуда можно получить следующее выражение

(1)

Это интегральное уравнение Винера-Хопфа, оптимальная передаточная функция должна удовлетворять этому уравнению.

Решение уравнение Винера-Хопфа.

Строгое решение этого уравнения сложно, решим это уравнение простым путем предложенным Шенноном. Уравнению Винера-Хопфа в частотной области соответствует следующее выражение:

(2)

Откуда

(3)

Но это уравнение физически нереализуемо так как к₀ ( t) = 0 при t < 0 т.е. K₀ (j w) содержит физически реализуемую и нереализуемую часть.

Для выделения физически реализуемой части воспользуемся свойством формирующего фильтра.

Используя операцию факторизации суммарную спектральную плотность сигнала и помехи можно представить в виде:

(4)

Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части

(5)

где [] ₊ - реализуемая часть; [] - нереализуемая часть.

Определим

Отбросив нереализуемую часть, можно записать следующее выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости:

(6)

Это формула Винера-Колмогорова.

Примеры решений задач

Пример 1. Рассмотрим задачу фильтрации с воспроизведением. Определить оптимальную передаточную функцию - K₀ (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.2).

Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.

K_и (p) = 1;

e

???. 2

Решение: Так как полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.