Реферат: Законы сохранения как отражение симметрии в физике

то для энергии получится

т.е. она представится в виде кинетической и потенциальной энергии.

Закон сохранения энергии характерен не только для классической механики, а носит общефизический характер. Найдем закон сохранения энергии в квантовой механике.

Как известно состояние частицы задает волновая функция . Произведем бесконечно малый сдвиг во времени t. При этом волновая функция преобразуется с помощью оператора трансляции .

Из однородности времени следует, что оператор трансляции коммутирует с оператором полной энергии .

Как известно в квантовой механике, поскольку оператор смещения коммутирует с оператором полной энергии , трансляция не меняет Н. Отсюда однозначно следует, что собственное значение оператор трансляции Tt есть величина сохраняющаяся. А так как оператор трансляции линейно зависит от оператора энергии (t=const), следовательно энергия частицы остается величиной инвариантной относительно трансляции времени.

2.2. ????? ?????????? ????????

Найдём теперь аддитивный закон сохранения, вытекающий из однородности, т.е. выберем в качестве в качестве преобразования пространственный сдвиг. Прежде всего (если пользоваться инерциальной системой отсчёта) такое преобразование не затрачивает времени, следовательно первые члена (3), (4) пропадут, т.е. будем считать .

Поэтому уравнение (3) примет в этом случае вид:

Величина

называется импульсом a‑той материальной точки. Поэтому из (4) получаем, что вектор

называемый импульсом системы материальных точек сохраняет во время движения постоянное значение

.

Найдем закон сохранения импульса в квантовой механике.

Произведем вариацию координаты х – приращение начала отсчета. Легко видеть, что операция смещения начала отсчета приводит к преобразованию волновой функции  с помощью оператора трансляции .

В силу однородности пространства коммутирует с оператором полной энергии (Н не зависит от трансляции координат, поскольку потенциальная энергия зависит только от относительных расстояний), т.е. собственное значение оператора Тх остается неизменным. А поскольку оператор трансляции линейно зависит от оператора импульса (х=const), следовательно х‑вая компонента импульса остается величиной инвариантной относительно трансляции начала координат.

2.3. ????? ?????????? ??????? ????????

Найдем аддитивную величину, сохраняющуюся в силу изотропности пространства. Совершим бесконечно малый поворот, преобразование в этом случае имеет вид

Теорема Нётер тогда утверждает, что

Векторную величину

называют моментам импульса материальной точки. Таким образом, из теоремы Нётер получаем, что из инвариантности относительно пространственных поворотов следует сохранение вектора