Реферат: Застосування векторів до розв язування простих задач на площині та в просторі Рівняння та нерів

Щоб це рівняння мало лише один розв’язок, його дискримінант повинен дорівнювати нулю, тобто . Звідси . Отже, якщо або , то задані лінії (першою з них є коло радіуса 4 з центром у початку координат, а другою є пряма лінія, що залежить від параметра ) мають лише одну спільну точку.

Б. Опис фігур на площині.

Рівняння , де , і - сталі величини, а

і - змінні, є рівнянням прямої на площині. Справді, з цього рівняння одержуємо

,

де , тобто рівняння має той же вигляд, що і в прикладі 2 попереднього пункту. Ті значення і , які задовольняють це рівняння, зображають на площині точки, що належать цій прямій. Координати тих точок, які не лежать на прямій, не задовольняють рівнянню, тобто в результаті їх підстановки у рівняння в правій частині одержимо не нуль, а якесь число, відмінне від нуля, додатне або від’ємне.

Пряма лінія ділить всю площину на дві півплощини, причому, якщо координати якої-небудь точки , що належить якійсь півплощині, в результаті їх підстановки в рівняння дають число, більше нуля, то і всі точки цієї півплощини теж дадуть число, більше нуля. Тоді всі точки другої півплощини в результаті підстановки їх у рівняння дадуть число, менше нуля.

Приклад.1. - рівняння прямої. Побудуємо відповідну пряму і дослідимо півплощини, на які ця пряма ділить площину (рис. 3.2).

Р о з в ’ я з о к. Усіма точками, що належать прямій , рівняння задовольняється , тобто ліва його частина перетворюється у нуль. Розглянемо точку . Якщо у рівняння замість підставити і

Рис.3.2. замість теж , то одержимо від’ємне

число. Тому і у всіх точках, що знаходяться нижче від прямої, матимемо нерівність , а вище прямої - .

У загальному випадку пряма

ділить площину на дві півплощини. В одній із них матимемо , а в другій .

Отже, півплощини задаються нерівностями або .

Якщо треба включити і граничну лінію півплощини, то пишуть

або залежно від того, яка півплощина мається на увазі.

Якщо задано систему нерівностей, то вона, взагалі кажучи, визначає деякий многокутник.

Приклад 2. Побудувати фігуру, що описується системою нерівностей:

Р о з в ’ я з о к. Щоб побудувати граничну пряму, треба мати дві точки. Наприклад, для першої нерівності при одержимо і при одержимо . Тепер можна побудувати три граничні прямі (рис.3.3).

Розглянемо тепер яку-небудь точку, наприклад , і підставимо її координати у нерівності. Легко перевірити, що всі

нерівності цією точкою задовольняються. Отже, система нерівностей описує область площини , обмежену сторонами трикутника, причому граничні прямі і включаються в цю область, а

Рис.3.3 пряма не включається (строга нерівність).

Штрихування сторін трикутника спрямоване всередину трикутника. Це означає, що область, обмежена сторонами

трикутника, є його внутрішністю. Якби в заданій системі нерівностей всі знаки поміняти на протилежні, то область, що визначалась би одержаною системою нерівностей, була б зовнішньою по відношенню до трикутника. Якщо, наприклад, третю нерівність записати у вигляді , то одержимо область, обмежену відрізком , півпрямою і півпрямою . Цілком можливі випадки, коли система нерівностей не визначає ніякої області на площині. У цьому випадку вона є суперечливою.

Міркування, висловлені по відношенню до лінійних нерівностей можуть бути перенесені і на складніші (нелінійні ) нерівності та системи нерівностей. Наприклад, нерівність описує внутрішність круга з центром у початку координат, включаючи і границю круга. У випадку строгої нерівності границя круга не входить до області площини, що описується нерівністю.

В. Лінії в полярній системі координат.

При розгляді полярної системи координат було встановлено, що полярний радіус змінюється від до , а полярний кут може набувати значень , де .

Лінію в полярній системі координат можна задати її рівнянням у вигляді або .