Реферат: Застосування векторів до розв язування простих задач на площині та в просторі Рівняння та нерів

Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині та в просторі. Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі, їх геометричний зміст. Системи рівнянь і нерівностей першого степеня.

План

• Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині.
• Математичний опис ліній, поверхонь, тіл.
• Загальні поняття про лінії.
• Алгебраїчні лінії та поверхні.
• Лінії і фігури на площині.
• Параметричні рівняння ліній.
• Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі , їх геометричний зміст.
• Системи рівнянь і нерівностей першого степеня.

3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.1. Математичний опис ліній, поверхонь, тіл

3.1.2. Загальні поняття про рівняння

Нехай в просторі задана прямокутна декартова система координат. Розглянемо сферу радіуса центр якої знаходиться в точці з координатами Сферою називається геометричне місце точок, що знаходяться від центра на одній і тій же відстані Позначивши через координати довільної точки що лежить на сфері, і виразимо через них рівність Ми одержимо

Піднісши в квадрат обидві частини рівності, одержимо більш зручнішу форму

Очевидно, що це співвідношення виконується для всіх точок сфери і тільки для них, і, отже, його можна розглядати як рівняння сфери в розглядуваній системі координат.

Розглянемо ще один приклад із геометрії на площині. Графіком функції називається лінія що складається із точок, координати яких зв’язані співвідношенням Якщо нас цікавить в першу чергу лінія, а не функція, ми можемо стати на іншу точку зору і вважати, що співвідношення є рівнянням лінії

Нехай вибрана система координат. Під рівнянням множини в цій системі координат ми будемо розуміти вираз визначення через координати його точок, тобто вислів, який вірний для координат точок, що належать , і невірний для координат точок, які йому не належать.

Часто рівнянню множини точок в планіметрії надається форма

де функція від двох змінних, а в стереометрії - де функція від трьох змінних. Написаний вище вираз для сфери має такий вигляд, якщо перенести в ліву частину.

Означення 1. Рівняння , що зв’язує координати в деякій декартовій системі координат на площині, називається рівнянням лінії якщо координати точок, що лежать на цій лінії, задовольняють даному рівнянню, а координати точок, що не лежать на лінії, йому не задовольняють.

Аналогічно можна дати означення рівняння поверхні

Означення 2. Рівняння , що зв’язує координати в деякій декартовій системі координат на просторі, називається рівнянням поверхні якщо координати точок, що лежать на цій поверхні, задовольняють даному рівнянню, а координати точок, що не лежать на поверхні, йому не задовольняють.

3.2.2. Алгебраїчні лінії і поверхні

Визначення довільних множин точок – задача цілком неоглядна. Визначимо порівняно вузький клас множин, хоча й широкий, щоби детально його вивчити.

Означення 1. Алгебраїчною лінією на площині називається множина, яка в якій-небудь декартовій системі координат на площині може бути задана рівнянням вигляду

(3.1)

причому всі показники – невід’ємні цілі числа. Найбільша із сум

називається степенем рівняння, а також порядком алгебраїчної лінії.

Означення 2. Алгебраїчною поверхнею називається множина, яка в якій-небудь декартовій системі координат може бути задана рівнянням вигляду

(3.2)

причому всі показники – невід’ємні цілі числа. Найбільша із сум

називається степенем рівняння, а також порядком алгебраїчної поверхні.

Це означення означає, зокрема, що сфера є алгебраїчною поверхнею другого порядку.

Приведені означення мають істотній недолік. А саме, невідомо, який вигляд буде мати рівняння поверхні чи лінії в якій-небудь іншій декартовій системі координат. Якщо ж рівняння і має в деякій іншій системі координат вигляд (3.5) чи (3.6), то степінь якого із цих рівнянь ми будемо називати порядком лінії чи поверхні. Відповіддю на поставлене питання дають теореми, які називаються теоремами про інваріантність (незмінність) порядку лінії (поверхні).

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--