Реферат: зно математика 2007 с ответами

Нехай SABCD – задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат ABCD, і SO її висота. Позначимо сторону основи АВ через а , тоді бічне ребро SA = 2a .

У трикутнику SDC з вершини D проведемо медіану DN, N – середина ребра SC . У трикутнику ASC проведемо середню лінію, паралельну AC . Вона перетинає ребра SA та SC у точках М та N відповідно, AM = MS та SN = NC (за означенням середньої лінії). Оскільки АС лежить у площині ABC і MN || AC , то MN || (ABC ). Прямі MN та ND перетинаються в точці N , тому кут MND є шуканим кутом між медіаною DN трикутника SDC і середньою лінією MN трикутника ASC . Позначимо .

Діагональ АС квадрата АВС D дорівнює , тому середня лінія MN = .

Висота SO піраміди перетинає MN в точці L . Оскільки трикутники ASC і SMN є рівнобедреними, то АО = ОС і ML = LN = .

З прямокутного трикутника .

За теоремою Фалеса SL = LO = SO = .

З прямокутного трикутника .

Трикутник DNM рівнобедрений, оскільки DM = DN як медіани рівних трикутників SAD та SCD . Медіана DL є висотою. Отже, трикутник DLN є прямокутним.

З трикутника DLN маємо:

.

Відповідь. .

Схема оцінювання

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал .

2. За обгрунтування рівності двох сторін трикутника MND ( DM= DN) учень одержує ще 1 бал .

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN , необхідні для знаходження кута , він одержує ще 1 бал .

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал .

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали .

· Якщо учень не з’єднує точки М і Д на рисунку, а розглядає кут як кут трикутника DLN, то в цьому випадку треба обґрунтувати, що трикутник DLN – прямокутний. Тоді має місце така схема оцінювання :

1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал .

2. За обґрунтування того, що учень одержує ще 1 бал .

3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN , необхідні для знаходження кута , він одержує ще 1 бал .

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал .

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали .

· Якщо учень для розв’язування задачі використав векторно-координатний метод, то тоді має місце така схема оцінювання :

1. За правильне обґрунтування висоти SO учень одержує 1 бал .

2. За вибір системи координат з поясненням необхідних точок учень одержує ще 1 бал .

3. За обчислення координат цих точок учень одержує ще 1 бал .

4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал .

Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали .

37. Побудуйте графік функції .

Розв’язання