Шпаргалка: Функциональный анализ

Базой топологии пр-ва Х называется система открытых мн-в W из Х, таких, что всякое открытое мн-во из Х может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы мн-в из W.

Хаусдорфова топология (????).

Теорема. Пусть Х – векторное топологическое пр-во, тогда существует база окрестностей нуля, состоящая из замкнутых поглощающих мн-в.

Порождающая система полунорм (???).

Теорема. Локально выпуклое пр-во Х метризуемо титт, когда топология хаусдорфова и существует счетный набор порождающих полунорм.

Банаховы пр-ва. Теорема о вложенных шарах в банаховом пр-ве (КФЭ 81).

Банаховым пр-вом называется полное нормированное пр-во.

Теорема. Для того чтобы метрическое пр-во Х было полным необх. и дост., чтобы в нем любая посл-ть вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы к-рых не стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Теорема Бера. Принцип сжимающих отображений (КФЭ 83).

Сжимающим называется такое отображение ¦ полного метрического пр-ва ¦: Х®Х, что существует число r<1, такое что rr (х,у)³r(¦(х),¦(у)).

Теорема. Для сжимающего отображения ¦ существует единственная неподвижная точка ¦(х)=х.

Теорема Бера. Полное метрическое пр-во Х не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных мн-в.

Теорема о пополнении (КГТ 12).

Пополнением метрического пр-ва Х называется метрическое пр-во У, такое, что выполнены следующие усл-я:

Y полно. Х лежит в Y. Х плотно в Y, т.е. каждая точка из Y является предельной для Х.

Теорема. Каждое метрическое пр-во Х допускает пополнение Y. Любые два пополнения пр-ва Х изометричны, причем изометрия, связывающая их, оставляет на месте точки Х.

Сепарабельность, компактность, критерий Хаусдорфа.

Сепарабельным называется такое топологическое пр-во Х, что в нем существует счетное всюду плотное мн-во Е, то есть для любого элемента из Х и для любой его окрестности найдется элемент из Е, принадлежащий этой окрестности.

Компактным подмножеством топологического пр-ва Х называется такое его подмножество А, что из любого покрытия мн-ва А системой открытых мн-в можно выделить конечное подпокрытие.

Предкомпактом называется множество, замыкание к-го компакт.

e-сеть для мн-ва В является такое мн-во А, что для любого элемента из В найдется элемент из А, отстоящий от него не далее, чем на e.

Критерий Хаусдорфа. Пусть Х – полное метрическое пр-во и А подмножество в Х. Мн-во А предкомпактно титт, когда для каждого e>0 мн-во А обладает конечной e-сетью.

Сл-е. В конечномерном нормированном пр-ве предкомпактность равносильна ограниченности.

Непрерывные функции на метрических компактах. Эквивалентность норм в Rⁿ .

Теорема. Пусть Х – компактное метрическое пр-во и ¦ - непрерывная на нем числовая ф-я. Тогда ¦ ограниченна на Х и достигает на Х верхней и нижней граней.

Эквивалентными в лин-ом пр-ве Х называются такие две нормы ||×||₁ и ||×||₂ , что существуют положительные числа a и b для которых справедливо нер-во a||x||₁ £||x||₂ £b||x||₁ при всех x из X.

Теорема. В конечномерном лин. пр-ве Х любые две нормы эквивалентны.

Теорема Асколи-Арцела (КГ 75).

Теорема Асколи-Арцела. Пусть С(Х) –нормированное пр-во вещественных непрерывных ф-й на метрическом пр-ве Х с нормой ||¦||=max|¦(x)|. Для того чтобы подмножество А мн-ва С(Х) было предкомпактным необх. и дост. Чтобы были оно удовлетворяло следующим условиям: