Шпаргалка: Функциональный анализ

Мн-во А равностепенно непрерывно т.е. для любой функции ¦ и для любых двух точек х и у найдутся такие числа e и d, что как только расстояние между точками меньше, чем d разность аргументов функции ¦ меньше e: "¦"e>0 $d>0, справедливо |¦(х)-¦(у)|<e , если r(х,у)< d.

Критерий предкомпактности единичного шара (КГТ 74).

Теорема. Пусть Х – лин-ое нормированное бесконечномерное пр-во, тогда единичный шар B={x: ||x||<1}не является предкомпактным мн-вом.

Евклидовы пр-ва. Неравенство Коши-Буняковского.

Евклидовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:

Определена операция ( , ): Х´Х®С.

(х,х)³0. (х,х)=0 Ûх=0.

.

(aх+bу,z)= a(х,z)+b(y,z).

Утв. Норму в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом: .

Утв. Метрику в Евклидовом пр-ве можно ввести следующим образом:r(х,у)=||x-y||.

Теорема. Для любых двух элементов х и у из Х справедливо нер-во Коши-Буняковского:

|(x,y)|£||x||×||y||.

Предгильбертовым называется такое лин-ое пр-во Х если для него справедливы следующие условия:

Определена операция ( , ): Х´Х®С.

(х,х)³0.

.

(aх+bу,z)= a(х,z)+b(y,z).

Гильбертовым пространством называется полное бесконечномерное Евклидово пр-во.

Утв. Определение Гильбертова пр-ва эквивалентно предгильбертовости пр-ва с добавлением условия (х,х)>0 при x отличных от нуля.

Теорема о существовании и единственности элемента наилучшего приближения в гильбертовых пр-вах. Теорема о разложении в прямую сумму.

Ортонормированные системы. Процесс ортогонализации.

Опр. В Евклидовом пр-ве косинус между двумя векторами х и у можно определить как .

Ортогональной в Евклидовом пр-ве Х называется такая система векторов {x_a }, что при различных a и b (х_a ,х_b )=0.

Ортогональным базисом в Евклидовом пр-ве Х называется такая ортогональная система , что ее лин-ая оболочка совпадает с Х.

Ортонормированной системой в Евклидовом пр-ве Х (о.н.с.) называется такая система векторов {x_a }, что при различных a и b (х_a ,х_b )=0 и для всех векторов x_a ||x_a ||=1 .

Ортогонализацией л.н.з. системы векторов {y_a }называется процесс, ставящих ей в соотв. Новую системы векторов {x_a },являющуюся ортонормированной, такую, что лин-ые оболочки обоих систем совпадают.

Неравенство Бесселя, Теорема Рисса-Фишера.

Коэффициентами Фурье элемента ¦ из евклидова пр-ва X по о.н.с. {j_k } называется последовательность чисел c_k =(¦,j_k ).