Шпаргалка: Шпаргалка по Высшей математике 4

В VI веке до н. э. «греческое чудо» начинается: появляются сразу две научные школы — ионийцы (Фалес Милетский, Анаксимен, Анаксимандр) и пифагорейцы. О достижениях ранних греческих математиков мы знаем в основном по комментариям позднейших авторов, преимущественно Евклида, Платона и Аристотеля.

Фалес, богатый купец, во время торговых поездок, видимо, хорошо изучил вавилонскую математику и астрономию. Ионийцы дали первые доказательства геометрических теорем.

Однако главная роль в деле создания античной математики принадлежит пифагорейцам.

3. ПАРАДОКСЫ ЗЕНОНА

Зено́н Эле́йский (др.-греч. Ζήνων ὁ Ἐλεάτης) (ок. 490 до н. э. — ок. 430 до н. э.), древнегреческий философ, ученик Парменида. Родился в Элее. Знаменит своими апориями, доказывающими невозможность движения, пространства и множества.

Удар по пифагореизму нанёс Зенон Элейский, предложив ещё одну тему для многовековых размышлений математиков. Он высказал более 40 парадоксов (апорий), наиболее знамениты четыре (см. список апорий). Вопреки многократным попыткам их опровергнуть и даже осмеять, они, тем не менее, до сих пор служат предметом серьёзного анализа. Здесь затронуты самые деликатные вопросы оснований математики — конечность и бесконечность, непрерывность и дискретность. Математика тогда считалась средством познания реальности, и суть споров можно было выразить как неадекватность непрерывной, бесконечно делимой математической модели физически дискретной материи.

Апории Зенона

Современники упоминали 40 апорий Зенона, до нас дошли 9, из них наиболее известны 4, обсуждаемые у Аристотеля.

Ахиллес и черепаха— одна из апорий Зенона.

Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди на некотором расстоянии от него.

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится от неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха проползёт 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползёт ещё 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

· Дихотомия (апория)

Дихотомия — одна из апорий Зенона Элейского, утверждающая логическую невозможность движения.

Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Эта апория основана на бесконечной делимости пространства и предположении, что для совершения бесконечного количества действий необходимо бесконечное время.

Из-за того что ситуация сформулирована словесно, а потому допускает различные толкования, имеются разные объяснения, но математическое объяснение гласит:
«Так как меньшие отрезки проходятся за меньшее время, то общее время равно сумме сходящегося ряда 1/2+1/4+1/8+…, то есть единице.»

· Стрела

«Стрела» — одна из апорий Зенона Элейского, утверждающая логическую невозможность движения.

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть покоится всегда.

Эта апория направлена против представления о непрерывной величине как о сумме бесконечного числа неделимых частиц.

Современные представления рассматривают стрелу в пространстве с введенными скоростными размерностями и тем самым решают софизм. В таком пространстве движущийся объект не идентичен неподвижному. Впрочем, с точки зрения современной науки, в этой апории есть доля правды (

· Стадион

Пусть по стадиону движутся по параллельным прямым равные массы с равной скоростью, но в противоположных направлениях. Пусть ряд А₁ , А₂ , А₃ , А₄ обозначает неподвижные массы, ряд В₁ , В₂ , В₃ , В₄ — массы, движущиеся вправо, а ряд Г₁ , Г₂ , Г₃ , Г₄ — массы, движущиеся влево. Будем теперь рассматривать массы А_i , В_i , Г_i как неделимые. В неделимый момент времени В_i и Г_i проходят неделимую часть пространства. Действительно, если бы в неделимый момент времени некоторое тело проходило бы более одной неделимой части пространства, то неделимый момент времени был бы делим, если же меньше, то можно было бы разделить неделимую часть пространства.

Рассмотрим теперь движение неделимых В_i и Г_i друг относительно друга: за два неделимых момента времени В_i пройдёт две неделимые части А_i и одновременно отсчитает четыре неделимые части Г_i , то есть неделимый момент времени окажется делимым.

Апория направлена против представления о мере отрезка как о сумме мер неделимых.

4. ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДА И ЕЕ ПОСТУЛАТЫ.

ЭВКЛИД (Euclid c.356-300 ВС)

Эвклид - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу.

Евклид и его «Начала».

В течение 2 тысяч лет геометрию узнавали либо из «Начал» Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги. Об этом человеке история сохранила настолько мало сведений, что нередко высказываются сомнения в самом его существовании. Человек исчез, растворился в веках, остался лишь его труд «Начала».

Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам. Первая книга начинается с 20 «определений», среди них такие: точка есть то, что не имеет частей; линия есть длина без ширины, прямая есть линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек; и, наконец, две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь угодно продолженные, не встречаются. Здесь же формулируются пять геометрических постулатов. Вот первые четыре: