Шпаргалка: Шпаргалка по Высшей математике 4
8. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА, ПАРАМЕТРЫ.
Множество — одно из первоначальных понятий в математике, не подлежащих определению. Как правило, множества задаются определенным свойством. Всякий предмет (объект) принадлежит множеству тогда и только тогда, когда он обладает данным свойством.
Применение в математике
Предметы (объекты), которые составляют множество, называют его элементами. Для обозначения множества обычно используют большие буквы (A, B, X ), при этом запись A = {a, b, c, … } означает, что множество A состоит из элементов a, b, c, … .
Чтобы записать утверждение «элемент a принадлежит множеству A », используют обозначение a A . Аналогично, утверждение «элемент a не принадлежит множеству A » записывается как a ∉ A .
Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. В противном случае множество называется бесконечным. Существует также пустое множество, которое вообще не содержит элементов, оно обозначается символом ∅.
Множество A называется подмножеством B , если выполнено условие: 
или 
. Таким образом,
Понятие равенства множеств
Множества А и В равны (A = B ), если одновременно выполнены два утверждения: 
.
Наиболее часто встречающиеся множества имеют стандартные обозначения в математике:
- N — множество всех натуральных чисел
- Z — множество всех целых чисел
- Q — множество всех рациональных чисел
- R — множество всех действительных чисел
- C — множество всех комплексных чисел
9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ И ПУСТОГО МНОЖЕСТВА.
Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств и логики.
Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения.
Определения
· Множество A является подмножеством множества B , если любой элемент, принадлежащий A , также принадлежит B . Пишут: или . Таким образом,
· Множество B в таком случае называется надмно́жеством множества A , и этот факт часто записывают: 
или 
Множество A называется подмножеством множества B , если все элементы A являются также элементами B . Любое множество является своим подмножеством: 
Если при этом 
, то A называется собственным подмножеством B . По определению полагают, что пустое множество является подмножеством любого множества: 
.
Множество всех подмножеств множества A обозначается 
или 2A , так как оно соответствует множеству отображений из A в 2 = {0,1}. Иногда его называют множеством-степенью (англ. power set ) для A . Мощность множества-степени, по теореме Кантора, всегда больше, чем у исходного множества. В категории множеств 
— это контравариантный функтор , отображающий функцию 
в 
при этом отображение 
ставит в соответствие каждому подмножеству B его полный прообраз в A .
Примеры:
· Подмножествами множества {0,1,2,3,4,5} являются множества 
· Подмножествами множества 
являются множества 
· Пусть A = {a ,b }, тогда 
[править] Собственное подмножество
Из определения прямо следует, что пустое множество обязано быть подмножеством любого множества. Также, очевидно, любое множество является своим подмножеством:
.
Если , и 
, , то A называется со́бственным или нетривиа́льным подмножеством.