Шпаргалка: Векторная алгебра
l (a,b)=( l a ,b) =(a, l 6) (сочетательность относительно умножения на число),
(a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a ^ b.
Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов :
a={ a 1 , a 2 , a 3 } и b={ b 1 , b 2 , b 3 }
заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:
( a , b )= a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
Косинус угла j между ненулевыми векторами a={ a 1 , a 2 , a 3 } и b={ b 1 , b 2 , b 3 }
может быть вычислен по формуле:
где 
и 
Косинусы углов вектора a={ a 1 , a 2 , a 3 } с векторами базиса i , j, k называют. направляющими косинусами вектора а:
, 
, 
.
Направляющие косинусы обладают следующим свойством:
co s 2 a + cos 2 b + cos 2 g =1
Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. е а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е . Проекции обладают свойствами:
Пр. е ( a + b )= Пр. е a + Пр. е b (аддитивность),
Пр. е a = Пр. е l a (однородность).
Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.
В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
 |
b b
c c
a a
правило левой руки правило правой руки
Ниже тройку векторов i , j , k следует считать правой .
Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j ). Псевдоскалярным произведением a Vb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k :
aVb =| a || b |* sin j
Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:
aVb=-bVa (антикоммутативность),
aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),