Шпаргалка: Высшая математика, интегралы шпаргалка

Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции на называется объединение всех первообразных на этом интервале. Обозначается: .
Замечание 26.1: Если - одна из первообразных на , то .
Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной на , т.е. .
Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.

Св-ва неопределенного интеграла:

1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

,

2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:

3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:

, где a0-постоянная.

4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:

5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если, то и , где u=- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.

Табличные интегралы

Определённый интеграл.

Интегрируемость

Определение 28.1: Множество точек отрезка таких, что: называют разбиением отрезка . Длины частичных отрезков разбиения обозначим: . Мелкостью разбиения (читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. .

Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех точки . Интегральной суммой функции на отрезке с разбиением будем называть сумму (зависящую от разбиения и выбора точек ) вида: .

Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции на отрезке назовём такое число , что . Обозначается: .

Определение 28.4: Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует конечный предел её интегнральных сумм на . Обозначается: .

Теорема 28.1: Если интегрируема на отрезке , то она ограничена на нём.

Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).

Критерий интегрируемости функций

Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: .

Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: .

Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: .

Определение 28.8: Определённым интегралом функции на называется число , равное пределу интегральных сумм на . Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.

Свойства определённого интеграла

1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то , т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег-ла.

2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и разность

,