Сочинение: Евклид: жизнь и сочинения
В
С
1 С1 С2
n1 раз.
( рис. 2 )
Повторяя эту операцию много раз, мы либо когда-нибудь получим нулевой отрезок-остаток Cm= nm+1Cm+1 + 0 отрезок Cm+1 окажется общей мерой отрезков А и В, либо процесс откладывания отрезков никогда не закончится.
В последнем случае говорят, что отрезки А и В несоизмеримы ( т.е. не имеют общей меры ). Числа n0, n1, … называются «неполными частными».
Если обнаружена общая мера величин А и В и она равна некоторой величине D, то А= λD, B=μD и отношение А и В есть отношение λ к μ.
Интересно, что Евклид построил алгоритм отдельно для чисел ( т.е. натуральных чисел ) и отдельно для отрезков ( величин ).
Итак, алгоритм Евклида позволяет не только находить общую меру ( НОД ) двух чисел, сокращать на НОД дроби, но и «округлять» рациональные числа.
Теория отношений Евдокса.
В «Началах» изложена другая теория отношений, созданная Евдоксом. Она отвечала на вопрос: как можно сравнивать отношения чисел и что происходит с ними в результате арифметических операций?
Два отношения a/b и c/d считаются равными, если для любых натуральных чисел М, N выполняются условия:
a
M > bN cM > dN,
aM = bN cM = dN,
a
M < bN cM < dN.
Такой подход к сравнению отношений был революционным прорывом в построении теории действительного числа ( пока только для рациональных положительных чисел ).
Теория иррациональностей.
Видимо, именно алгоритм Евклида привёл пифагорейца к установлению несоизмеримости стороны и диагонали квадрата ( т.е. иррациональности числа √2 ). Это открытие существенно повлияло на дальнейшее развитие и математики, и философии. Оно показало, что ложен основной принцип пифагорейцев «всё есть число». Они считали, что всякую величину можно выразить числом ( натуральным ) или отношением чисел, но оказалось, что диагональ квадрата со стороной 1 не выражалась отношением чисел.
Теэтет Афинский развил этот подход и доказал, что квадратные корни из квадратных чисел рациональны, а из неквадратных – иррациональны. Кроме того, кубические корни из кубических чисел рациональны, а из некубических – иррациональны.
Более того, он классифицировал некоторые типы иррациональностей, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.
Геометрическая алгебра.
Важным достижением античной математики стало создание так называемой геометрической алгебры, зачатки которой имелись ещё у вавилонян.
Мы знаем, что в Древней Греции не было возможности записывать буквами алгебраические формулы и уравнения. Кроме того, большие проблемы возникали при операциях с натуральными числами. Античные математики обошли эту проблему, переведя все алгебраические выражения первой и второй степени на геометрический язык. Все построения были планиметрическими.
Видимо, именно алгебраическими потребностями объясняется столь бурное развитие планиметрии в античности.
Платоновы тела.
В последней, XIII книге «Начал» описываются построение и свойства правильных многогранников – тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра.
И Евклид не просто описал правильные многогранники, но и исследовал их свойства. Он нашёл отношения длин рёбер всех правильных многогранников к диаметру описанной около многогранника сферы.