Сочинение: Краткое доказательство гипотезы Биля

Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение:

А^x +В^y = С^z /1/

не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.

Суть гипотезы Биля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:

А^x = С^{z -} В^y /2/

Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром Aи переменными Bи С.

Уравнение /2/ запишем в следующем виде:

А^x = (С^{0,5 z} ) ² - (В^{0,5 y} ) ² /3/

Обозначим:

В^{0,5 y} =V/4/

С^{0,5 z} =U/5/

Отсюда:

В^y =V² /6/

С^z =U² /7/

В = /8/

С = /9/

Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует:

А^x = С^z -В^y =U² -V² /10/

Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:

А^x = (U-V) ∙ (U+V) /11/

Для доказательства гипотезы Биля используем метод замены переменных. Обозначим:

U-V=X/12/

Из уравнения /12/ имеем:

U=V+X/13/

Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем:

А^x = X· (V+X+V) =X (2V+X) =2VХ+X² /14/

Из уравнения /14/ имеем:

А^x - X² =2VХ/15/

Отсюда:

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--