Для того чтобы получить радиус построим формулу описывающую окружность.

Обозначения:

P – Преследователь

E – Убегающий игрок

O – Центр окружности Апполония

M – Точка встречи

Выберем систему координат таким образом, чтобы её начало было в центре окружности Апполония и E=(0,0); P=(0, – b)

Очевидно, что |EM|/V_e = |PM|/V_p

Или, что тоже самое |EM|* V_p = |PM|* V_e

Тогда |EM| = Öx² + y² и |PM| = Ö x² + (y +b)²

Подставим в предыдущую формулу и получим

V_p Öx² + y² = V_e Ö x² + (y +b)²

Возведём в квадрат обе части уравнения, сгруппируем и получим следующее уравнение

x² + (y – (bV_e ² )/(V_p ² – V_e ² ))² = (V_e V_p b/(V_p ² – V_e ² ))²

Это действительно уравнение окружности и отсюда мы можем получить выражение для радиуса.

R = V_e V_p b/(V_p ² – V_e ² )

Из этого же уравнения можно определить и координаты преследователя и убегающего игрока

Знание этих величин, и скоростей позволяет решить целый ряд задач. Например следующую:

Три лисы окружили кролика таким образом, что кролик оказался в центре окружности описанной возле равностороннего треугольника, в вершинах которого находятся лисы. Известно также, что скорости всех лис одинаковы и известно, что кролику не удастся убежать, причем, если бы его скорость была хотя бы немного больше он бы убежал. Найти отношение скорости лис и скорости кролика.

4. Преследование на плоскости с одним преследователем

В данной игре существует оптимальная стратегия и для преследователя и для убегающего игрока. Оптимальной стратегией для преследователя будет стратегия параллельного сближения, а для убегающего игрока движение по прямой EA где Е начальная точка убегающего игрока и А точка Апполония.

Оптимальность стратегии для убегающего очевидна, так как начальная точка преследователя находится на той же самой прямой. Действительно суть стратегии параллельного сближения в том, что

А) Преследователь изменяет направление движения в тот же самый момент когда направление движения меняет убегающий игрок.

Б) Новое направление выбирается таким образом, чтобы преследователь и убегающий игрок встретились на окружности Апполония.

Из этих двух пунктов и следует оптимальность выбранной стратегии. А теперь определим оптимальное время преследования для такой игры.

Известно, что точка встречи – это точка Апполония. Известно, также что оба игрока движутся по прямой, следовательно, для определения времени встречи существенно важны не абсолютные значения скоростей, а то насколько скорость преследователя больше скорости убегающего игрока. Поэтому мы можем перейти к эквивалентной задаче, в которой убегающий игрок стоит на месте, а преследователь движется со скоростью равно V_p – V_e

В этой задаче преследователь должен пройти расстояние между его начальным положением и начальным положением убегающего. Мы уже обозначали это расстояние через b тогда оптимальное время преследование будет дано следующим выражением t=b/(V_p – V_e ).

5 Игра с линией жизни

Вспомним, что игрой с линией жизни называется игра с границей которую убегающий игрок стремится достичь, а преследователь наоборот стремится этого не допустить. Сразу из определения следует следующая несложная теорема:

Теорема: В игре с линией жизни убегание невозможно только в том случае, когда линия жизни не пересекается с окружностью Апполония. При этом форма линии жизни несущественна.

Теорема очевидна и в доказательстве не нуждается.