Статья: Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию

(20°) Лемма: U_(k+2) = U'_(k+2) = U''_(k+2) = U*_(k+2) = U*'_(k+2) = U*''_(k+2) = 0 [всегда!].

Действительно, из 1° мы имеем:

U = aⁿ + bⁿ – cⁿ =

= (a_(k+1) + n^k+1 a_k+2 + n^k+2 P_a )ⁿ + (b_(k+1) + n^k+1 b_k+2 + n^k+2 P_b )ⁿ – (c_(k+1) + n^k+1 c_k+2 + n^k+2 P_c )ⁿ =

= (a_(k+1) ⁿ + b_(k+1) ⁿ – c_(k+1) ⁿ ) + n^k+2 (a_k+2 a_(k+1) ^{n - 1} + b_k+2b(k+1) ^{n - 1} – c_k+2c(k+1) ^{n - 1} ) + n^k+3 P =

= U' + U'' = 0 , где

U' = a_(k+1) ⁿ + b_(k+1) ⁿ – c_(k+1) ⁿ ,

(20a°)U'' = n^k+2 (a_k+2 a_(k+1) ^{n -1} + b_k+2b(k+1) ^{n -1} – c_k+2c(k+1) ^{n -1} ) + n^k+3 P ,

где(a_k+2 a_(k+1) ^{n -1} + b_k+2 b_(k+1) ^{n -1} – c_k+2 c_(k+1) ^{n -1} )₁ = (см. 0.1°)=

(20b°) = (a_k+2 + b_k+2 – c_k+2 )₁ = U''_k+3 = v (см. 4°).

(21°) Следствие: (U'_k+3 + U''_k+3 )₁ = (U*'_k+3 + U*''_k+3 )₁ = 0 .

(22°) Вычислимцифру(11ⁿ U')_k+3 :

[так как числа (11 u ')_{( k +2)} и u *'_{( k +2)} отличаются только k+2-ми цифрами на величину

(11 u ') _{k +2} ) , то на эту величину будут отличаться и цифры (11 ⁿ U ') _{k +3} и U *' _{k +3} , это означает,

что цифра (11 ⁿ U ') _{k +3} будет на (11 u ') _{k +2} превышать цифру U *' _{k +3} (см. 0.2°)]

(11ⁿ U')_k+3 = U'_k+3 = (U*'_k+3 + (11u')_k+2 )₁ = (U*'_k+3 + u'_k+1 )₁ .

(23°) ОткудаU*'_k+3 = U' _k+3 – u'_k+1 .

(24°) Вычислим цифру U *'' _{k +3} :

U*'' _k+3 = v* = (u_k+2 + u_k+1 )₁ – (–1 , 0 или1 ) – см. (18°);

(25°) Наконец, вычислим цифру ( U *' _{k +3} + U *'' _{k +3} )₁ :

(U*'_k+3 + U*''_k+3 )₁ = (U*'_k+3 + U*''_k+3 – U'_k+3 – U''_k+3 )₁ = (U*'_k+3 – U'_k+3 + U*''_k+3 – U''_k+3 )₁ =

(см. 23° и 24°) = (– u ' _{k +1} + v* – v) = (см. 18° и 10°) =

= (– u'_k+1 + [u_k+2 + u_k+1 – (–1 , 0 или1 )] – [u_k+2 – (–1 , 0 или1 )])₁ =

= (– u ' _{k +1} +u_{k +1} + (–2 , –1 , 0 , 1 , или2 ))₁ = (см. 3a°) =

( u '' _{k +1} + (–2 , –1 , 0 , 1 , или2))₁ = (см. 6°) = (2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 или 8 ) № 0 ,

что противоречит 21°и, следовательно, выражение 1° есть неравенство .

Случай 2 [доказывается аналогично, но намного проще]: b (или c ) = n^t b ' , где b ₁ = 0 и b_{t +1} = b '₁ № 0 .

(26°) Введем число u = c – a > 0 , где u _{( nt – 1)} = 0 ,а u_nt ? 0 (см. §1 в Приложении).

(27°) После умножения равенства 1° на число d ₁ ⁿ (с целью превратить цифру u_nt в 5 )

(см. §§2 и 2a в Приложении) обозначения чисел сохраняются.

(28°) Пусть: u ' = a _{( nt – 1)} – c _{( nt – 1)} , u '' = ( a – a _{( nt – 1)} ) – ( c – c _{( nt – 1)} ) (где, очевидно, u '' _nt = ( a _nt – c _nt )₁ );

U ' = a _{( nt )} ⁿ + bⁿ – c _{( nt )} ⁿ (гдеU '_{( nt + 1)} = 0 – см. 1° и 26°),U '' = ( aⁿ – a _{( nt )} ⁿ ) – ( cⁿ – c _{( nt )} ⁿ ) ,

U *' = a *_{( nt )} ⁿ + b * ⁿ – c *_{( nt )} ⁿ (гдеU *'_{( nt + 1)} = 0 ),U *'' = ( a * ⁿ – a *_{( nt )} ⁿ ) – ( c * ⁿ – c *_{( nt )} ⁿ ) ,

v = a_nt+1 – c_nt+1 .

Вычисления, полностью аналогичные вычислениям в случае 1, показывают, что nt+2-я цифра в равенстве Ферма не равна нулю. Число b во всех расчетах (кроме самой последней операции и в п. 27°) можно проигнорировать, т.к. цифры bⁿ _{nt +1} и bⁿ _{nt +2} при умножении равенства 1° на 11ⁿ не меняются (т.к. 11ⁿ ₍₃₎ = 101).

Таким образом, для простых n > 7 теорема доказана.

==================

ПРИЛОЖЕНИЕ

§1. Если числа a , b , c не имеют общих сомножителей и b ₁ = ( c – a )₁ = 0 ,

тогда из числа R = ( cⁿ – aⁿ )/( c – a ) =

= c^{n –1} + c^{n –2} a + c^{n –3} a² + … c² a^{n - 3} + ca^{n - 2} + a^{n - 1} =

= (c^{n –1} + a^{n –1} ) + ca(c^{n –3} + a^{n –3} ) + … + c^{(n –1)/2} a^{(n –1)/2} =

= (c^{n –1} – 2c^{(n –1)/2} a^{(n –1)/2} + a^{n –1} + 2c^{(n –1)/2} a^{(n –1)/2} ) + ca(c^{n –3} – 2c^{(n –3)/2} a^{(n –3)/2} + a^{n –3} + 2c^{(n –3)/2} a^{(n –3)/2} ) +

+ … + c ^{( n –1)/2} a ^{( n –1)/2} = ( c – a )² P + nc ^{( n –1)/2} a ^{( n –1)/2} следует, что:

c – a делится на n ² , следовательно R делится на n и не делится на n ² ;

так как R > n , то число R имеет простой сомножитель r не равный n ;

c – a не делится на r ;

если b = n^t b ' , где b '₁ № 0 , то число c – a делится на n^{tn – 1} и не делится n^tn .

§2. Лемма . Все n цифр ( a ₁ d_i )₁ , где d_i = 0, 1, … n – 1 , различны.

Действительно, допустив, что ( a ₁ d ₁ *)₁ = ( a ₁ d ₁ **)₁ , мы находим: (( d ₁ * – d ₁ **) a ₁ )₁ = 0 .

Откуда d ₁ * = d ₁ ** . Следовательно, множества цифр a ₁ (здесь вместе с a ₁ = 0 ) и d ₁ совпадают.

[Пример для a ₁ = 2 : 0: 2 x0 = 0 ; 1: 2 x3 = 11 ; 2: 2 x1 = 2 ; 3: 2 x4 = 13 ; 4: 2 x2 = 4 .

При составном nЛемма несправедлива: в базе 10 и (2х2)₁ = 4 , и (2х7)₁ = 4 .]

§2a. Следствие . Для любой цифры a ₁ № 0 cуществует такая цифра d_i , что ( a ₁ d_i )₁ = 1 .

[Пример для a ₁ = 1, 2, 3, 4: 1x1 = 1 ; 2x3 = 11 ; 3x2 = 11 ; 4x4 = 31 .]

ВИКТОР СОРОКИН

e - mail : [email protected]

4 ноября 2004, Франция

P.S. Доказательство для случаев n = 3, 5 , 7 аналогично, но в (3°) цифра u_{k +1} превращается не в 5 , а в 1 , и в (1*°) равенство (1°) умножается не на 11 ⁿ , а на некоторое hⁿ , где h – некоторое однозначное число.