Статья: Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию

Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U ' и U '' и умножения равенства a ^ n + b ^ n – c ^ n = 0 на 11^ n (т.е. на 11 в степени n , а чисел a , b , c на 11 ) ( k +3) -я цифра в числе a ^ n + b ^ n – c ^ n (где k – число нулей на конце числа a + b – c ) не равна 0 (числа U ' и U '' умножаются по-разному!). Для постижения доказательства нужно знать лишь формулу бинома Ньютона, простейшую формулировку малой теоремы Ферма (приводится), определение простого числа, сложение двух-трех чисел и умножение двузначного числа на 11 . Вот, пожалуй, и ВСЁ! Самое главное (и трудное) – не запутаться в десятке цифр, обозначенных буквами. Формальное описание истории теоремы и библиография в русском тексте опущены.

Доказательство приводится в редакции от 1 июня 2005 года (с учетом дискуссии на мехматовском сайте).

В.С.

Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма

ВИКТОР СОРОКИН

ИНСТРУМЕНТАРИЙ: [В квадратных скобках приводится поясняющая, не обязательная информация.]

Используемые обозначения:

Все числа записаны в системе счисления с простым основанием n > 10 .

[Все случаи с составным n, кроме n = 2 ^k (который сводится к случаю n = 4 ), сводятся к случаю

простого n с помощью простой подстановки. Случаи n = 3, 5 и 7 здесь не рассматриваются.]

a_k – k -я цифра от конца в числе a (a ₁ – последняя цифра).

[Пример для a = 1043: 1043 = 1 x5³ + 0 x5² + 4 x5¹ + 3 x5⁰ ; a₁ = 3 , a₂ = 4 , a₃ = 0 , a₄ = 1 .]

a_{( k )} – окончание (число) из k цифр числа a (a ₍₁₎ = a ₁ ; 1043₍₃₎ = 043 ). Везде в тексте a ₁ № 0 .

[Если все три числа a , b и c оканчиваются на ноль, следует разделить равенство 1° на nⁿ .]

(a_i ⁿ )₁ = a_i и(a_i ^{n - 1} )₁ = 1 (см. Малую теорему Ферма для a_i № 0 ). (0.1°)

( n + 1) ⁿ = (10 + 1) ⁿ = 11 ⁿ = …101 (см. Бином Ньютона для простого n ).

Простое следствие из бинома Ньютона и малой теоремы Ферма для s № 1 [a ₁ № 0 ]:

если цифра a_s увеличивается/уменьшается на 0 < d < n ,

то цифра aⁿ _{s +1} увеличивается/уменьшается на d (или d + n , или d – n ). (0.2°)

[В отрицательных числах цифры считаются отрицательными.]

***

(1°) Допустим, что aⁿ + bⁿ – cⁿ = 0 .

Случай 1 : ( bc )₁ ? 0.

(2°) Пусть u = a + b – c , где u _{( k )} = 0, u_{k +1} ? 0 ,k > 0 [известно, что в 1° u > 0 иk > 0 ].

(3°) Умножим равенство 1° на число d ₁ ⁿ (см. §§2 и 2a в Приложении) с целью превратить

цифру u_{k +1} в 5 . После этой операции обозначения чисел не меняются

и равенство продолжает идти под тем же номером (1°).

Очевидно, что и в новом равенстве (1°) u = a + b – c , u _{( k )} = 0 ,u_{k +1} = 5 .

(1*°) И пусть a * ⁿ + b * ⁿ – c * ⁿ = 0 , где знаком “*” обозначены записанные в каноническом виде числа в равенстве (1°) после умножения равенства (1°) на 11 ⁿ .

(4°) Введем в указанной здесь очередности следующие числа:u ,u ' = a _{( k )} + b _{( k )} – c _{( k )} ,

u'' = u – u' = (a – a_(k) ) + (b – b_(k) ) – (c – c_(k) ) , v = (a_k+2 + b_k+2 – c_k+2 )₁ , u*' = a*_(k) + b*_(k) – c*_(k) ,

u*'' = u* – u*' = (a* – a*_(k) ) + (b* – b*_(k) ) – (c* – c*_(k) ) , 11u' , 11u'' ,v* = (a*_k+2 + b*_k+2 – c*_k+2 )₁ ,

и вычислим две последние значащие цифры в этих числах:

(3a°) u_k+1 = (u'_k+1 + u''_k+1 )₁ =5 ;

(5°) u'_k+1 = (–1 , 0 или1 ) – таккак – n^k < a'_(k) < n^k , – n^k < b'_(k) < n^k , – n^k < c'_(k) < n^k

и числа a , b , c имеют различные знаки;

(6°) u '' _{k +1} = (4 , 5 или6 )(см. 3a° и 5°) [важно :1 < u '' _{k +1} < n – 1 ];

(7°) u ' _{k +2} = 0 [всегда!] – так как \ u '\ < 2 n^k ;

(8°) u '' _{k +2} = u_{k +2} [всегда!];

(9°) u '' _{k +2} = [ v + ( a_{k +1} + b_{k +1} – c_{k +1} )₂ ]₁ , где ( a_{k +1} + b_{k +1} – c_{k +1} )₂ = (–1 , 0 или1 );

(10°) v = [ u_{k +2} – ( a _{( k +1)} + b _{( k +1)} – c _{( k +1)} ) _{k +2} ]₁ [где ( a _{( k +1)} + b _{( k +1)} – c _{( k +1)} ) _{k +2} = (–1 , 0 или1 )] =

= [ u_{k +2} – (–1 , 0 или1 )]₁ ;

(11°) u * _{k +1} = u_{k +1} = 5 – т.к. u * _{k +1} иu_{k +1} – последние значащие цифры в числах u * и u ;

(12°) u *' _{k +1} = u ' _{k +1} – т.к. u *' _{k +1} иu ' _{k +1} – последние значащие цифры в числах u *' и u ' ;

(13°) u*''_k+1 = (u*_k+1 – u*'_k+1 )₁ = (3 – u*'_k+1 )₁ = (4 , 5 или6 )[важно : 1 < u*''_k+1 < n – 1 ];

(14°) (11 u ') _{k +2} = ( u ' _{k +2} + u ' _{k +1} )₁ (затем – в результате приведения чисел к каноническому виду –

величина u ' _{k +1} «уходит» в u *'' _{k +2} , поскольку u *' _{k +2} = 0 );

(14a°) важно: числа (11 u ')_{( k +2)} и u *'_{( k +2)} отличаются только k +2 -ми цифрами, а именно:

u *' _{k +2} = 0 , но (11 u ') _{k +2} № 0 в общем случае;

(15°) (11 u '') _{k +2} = ( u '' _{k +2} + u '' _{k +1} )₁ ;

(16°) u*_k+2 = (u_k+2 + u_k+1 )₁ = (u''_k+2 + u_k+1 )₁ = (u''_k+2 + 5)₁ ;

(16а°) к сведению: u *' _{k +2} = 0 (см. 7°);

(17°) u*''_k+2 = (u*_k+2 +1 , u*_k+2 илиu*_k+2 – 1 )₁ = (см. 9°) = (u''_k+2 + 4 ,u''_k+2 + 5 или u''_k+2 + 6)₁ ;

(18°) v* = [u*_k+2 – (a*_(k+1) + b*_(k+1) – c*_(k+1) )_k+2 ]₁

[гдеu*_k+2 = (u_k+2 + u_k+1 )₁ (см. 16°), а(a*_(k+1) + b*_(k+1) – c*_(k+1) )_k+2 = (–1 , 0 или1 ) – см. 10°] =

= [(u_k+2 + u_k+1 )₁ – (–1 , 0 или1 )]₁ .

(19°) ВведемчислаU' = (a_k+1 )ⁿ + (b_k+1 )ⁿ – (c_k+1 )ⁿ , U'' = (aⁿ + bⁿ – cⁿ ) – U' , U = U' + U'' ,

U*' = (a*_k+1 )ⁿ + (b*_k+1 )ⁿ – (c*_k+1 )ⁿ , U*'' = (a*ⁿ + b*ⁿ – c*ⁿ ) – U*' , U* = U*' + U*'' ;

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--