Статья: Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию

(20°) Лемма: U(k+2) = U'(k+2) = U''(k+2) = U*(k+2) = U*'(k+2) = U*''(k+2) = 0 [всегда!].

Действительно, из 1° мы имеем:

U = an + bn – cn =

= (a(k+1) + nk+1 ak+2 + nk+2 Pa )n + (b(k+1) + nk+1 bk+2 + nk+2 Pb )n – (c(k+1) + nk+1 ck+2 + nk+2 Pc )n =

= (a(k+1) n + b(k+1) n – c(k+1) n ) + nk+2 (ak+2 a(k+1) n - 1 + bk+2b(k+1) n - 1 – ck+2c(k+1) n - 1 ) + nk+3 P =

= U' + U'' = 0 , где

U' = a(k+1) n + b(k+1) n – c(k+1) n ,

(20a°)U'' = nk+2 (ak+2 a(k+1) n -1 + bk+2b(k+1) n -1 – ck+2c(k+1) n -1 ) + nk+3 P ,

где(ak+2 a(k+1) n -1 + bk+2 b(k+1) n -1 – ck+2 c(k+1) n -1 )1 = (см. 0.1°)=

(20b°) = (ak+2 + bk+2 – ck+2 )1 = U''k+3 = v (см. 4°).

(21°) Следствие: (U'k+3 + U''k+3 )1 = (U*'k+3 + U*''k+3 )1 = 0 .

(22°) Вычислимцифру(11n U')k+3 :

[так как числа (11 u ')( k +2) и u *'( k +2) отличаются только k+2-ми цифрами на величину

(11 u ') k +2 ) , то на эту величину будут отличаться и цифры (11 n U ') k +3 и U *' k +3 , это означает,

что цифра (11 n U ') k +3 будет на (11 u ') k +2 превышать цифру U *' k +3 (см. 0.2°)]

(11n U')k+3 = U'k+3 = (U*'k+3 + (11u')k+2 )1 = (U*'k+3 + u'k+1 )1 .

(23°) ОткудаU*'k+3 = U' k+3 – u'k+1 .

(24°) Вычислим цифру U *'' k +3 :

U*'' k+3 = v* = (uk+2 + uk+1 )1 (–1 , 0 или1 ) – см. (18°);

(25°) Наконец, вычислим цифру ( U *' k +3 + U *'' k +3 )1 :

(U*'k+3 + U*''k+3 )1 = (U*'k+3 + U*''k+3 – U'k+3 – U''k+3 )1 = (U*'k+3 – U'k+3 + U*''k+3 – U''k+3 )1 =

(см. 23° и 24°) = (– u ' k +1 + v* v) = (см. 18° и 10°) =

= (– u'k+1 + [uk+2 + uk+1 (–1 , 0 или1 )] [uk+2 (–1 , 0 или1 )])1 =

= (– u ' k +1 +uk +1 + (–2 , –1 , 0 , 1 , или2 ))1 = (см. 3a°) =

( u '' k +1 + (–2 , –1 , 0 , 1 , или2))1 = (см. 6°) = (2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 или 8 ) 0 ,

что противоречит 21°и, следовательно, выражение 1° есть неравенство .

Случай 2 [доказывается аналогично, но намного проще]: b (или c ) = nt b ' , где b 1 = 0 и bt +1 = b '1 0 .

(26°) Введем число u = c a > 0 , где u ( nt – 1) = 0unt ? 0 (см. §1 в Приложении).

(27°) После умножения равенства 1° на число d 1 n (с целью превратить цифру unt в 5 )

(см. §§2 и 2a в Приложении) обозначения чисел сохраняются.

(28°) Пусть: u ' = a ( nt – 1) c ( nt – 1) , u '' = ( a a ( nt – 1) ) – ( c c ( nt – 1) ) (где, очевидно, u '' nt = ( a nt c nt )1 );

U ' = a ( nt ) n + bn c ( nt ) n (гдеU '( nt + 1) = 0 см. 1° и 26°),U '' = ( an a ( nt ) n ) – ( cn c ( nt ) n ) ,

U *' = a *( nt ) n + b * n c *( nt ) n (гдеU *'( nt + 1) = 0 ),U *'' = ( a * n a *( nt ) n ) – ( c * n c *( nt ) n ) ,

v = ant+1 – cnt+1 .

Вычисления, полностью аналогичные вычислениям в случае 1, показывают, что nt+2-я цифра в равенстве Ферма не равна нулю. Число b во всех расчетах (кроме самой последней операции и в п. 27°) можно проигнорировать, т.к. цифры bn nt +1 и bn nt +2 при умножении равенства 1° на 11n не меняются (т.к. 11n (3) = 101).

Таким образом, для простых n > 7 теорема доказана.

==================

ПРИЛОЖЕНИЕ

§1. Если числа a , b , c не имеют общих сомножителей и b 1 = ( c a )1 = 0 ,

тогда из числа R = ( cn an )/( c a ) =

= cn –1 + cn –2 a + cn –3 a2 + … c2 an - 3 + can - 2 + an - 1 =

= (cn –1 + an –1 ) + ca(cn –3 + an –3 ) + … + c(n –1)/2 a(n –1)/2 =

= (cn –1 – 2c(n –1)/2 a(n –1)/2 + an –1 + 2c(n –1)/2 a(n –1)/2 ) + ca(cn –3 – 2c(n –3)/2 a(n –3)/2 + an –3 + 2c(n –3)/2 a(n –3)/2 ) +

+ … + c ( n –1)/2 a ( n –1)/2 = ( c a )2 P + nc ( n –1)/2 a ( n –1)/2 следует, что:

c a делится на n 2 , следовательно R делится на n и не делится на n 2 ;

так как R > n , то число R имеет простой сомножитель r не равный n ;

c a не делится на r ;

если b = nt b ' , где b '1 0 , то число c – a делится на ntn – 1 и не делится ntn .

§2. Лемма . Все n цифр ( a 1 di )1 , где di = 0, 1, … n – 1 , различны.

Действительно, допустив, что ( a 1 d 1 *)1 = ( a 1 d 1 **)1 , мы находим: (( d 1 * – d 1 **) a 1 )1 = 0 .

Откуда d 1 * = d 1 ** . Следовательно, множества цифр a 1 (здесь вместе с a 1 = 0 ) и d 1 совпадают.

[Пример для a 1 = 2 : 0: 2 x0 = 0 ; 1: 2 x3 = 11 ; 2: 2 x1 = 2 ; 3: 2 x4 = 13 ; 4: 2 x2 = 4 .

При составном nЛемма несправедлива: в базе 10 и (2х2)1 = 4 , и (2х7)1 = 4 .]

§2a. Следствие . Для любой цифры a 1 0 cуществует такая цифра di , что ( a 1 di )1 = 1 .

[Пример для a 1 = 1, 2, 3, 4: 1x1 = 1 ; 2x3 = 11 ; 3x2 = 11 ; 4x4 = 31 .]

ВИКТОР СОРОКИН

e - mail : [email protected]

4 ноября 2004, Франция

P.S. Доказательство для случаев n = 3, 5 , 7 аналогично, но в (3°) цифра uk +1 превращается не в 5 , а в 1 , и в (1*°) равенство (1°) умножается не на 11 n , а на некоторое hn , где h – некоторое однозначное число.

К-во Просмотров: 136
Бесплатно скачать Статья: Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию