Статья: Исследование одной модели газотранспортной сети

где P - давление газа;

Q - расход газа;

K - коэффициент физических параметров трубы и состояния окружающей среды

Проанализировав данную систему, отметим следующее:

Правило 1. Скорость изменения давления по времени t равна скорости изменения расхода газа по расстоянию x.

Правило 2. По расстоянию x скорость изменения квадрата давлений равна квадрату расхода газа.

Необходимо принять во внимание, что во временном слое можно вычислить расход газа по соседним давлениям. А при перемещении по времени можно определить давление, если известно предыдущее состояние соседних по x расходов.

Построим разностный аналог приведенных выше правил.

На рис.3,а) отображено общее графическое представление производных правила 1. Для построения используется равномерная шахматная разностная сетка по расстоянию x и времени t. Для нестационарного режима течения газа справедливы оба правила 1 и 2 одновременно, а при стационарном режиме правило 1 вырождается, так как изменений по времени для давления и расхода нет и соответственно уравнение правила 2 представляет правило распределения давления и расхода по трубе для стационарного режима вне зависимости от времени.

В идеале каждый временной слой представляется в виде отрезков трубы со стационарным режимом между узлами. Тогда для каждого отрезка соблюдается правило 2. На рис.3,а) представлена схема по правилам 1 и 2. В виде разностной формулы это:

(2)

На рис.3,b) представлена схема расчета давления и расхода газа исходя из правила 1 при переходе с одного временного слоя на другой. Необходимо напомнить, что правило 1 используется только в разрезе одного временного слоя.

На рис.3,а) правило 1 справедливо для точки i,j, но для вычислений такая схема неудобна, так как необходимо знать P и Q на двух временных слоях, чтобы вычислить любой третий. Точно также можно рассуждать и о пространственных слоях. Пространственный слой v это ряд значений по P и Q для точки трубы в разрезе времени. Основная особенность пространственного слоя в том, что он определен либо по P, либо по Q, в то время, как во временном слое, определены P и Q для разных точек. Таким образом, чтобы вычислить значения на одном из трех пространственных слоев необходимо знать значения на двух оставшихся.

На рис.4 представлена схема для расчета пространственного слоя (значения P_i,j+1 ) с использованием только одного предыдущего временного слоя, а не двух как на рис.3. Для этого шаг на временных и пространственных слоях надо принять одинаковым, что позволит совместить значения и в точке i,j v будет точка их равнозначных значений. Хотя все перечисленное можно применить и для случая, когда и соответственно. Если же, то.

Через точку i,j проходит один временной и один пространственный слой, они пересекаются под углом 90¦ . По правилу 1 для этой точки задействованы окружающие ее 4 точки: (i-1,j),(i+1,j),(i,j-1),(i,j+1). Причем, зная значения трех узлов по временному или пространственному слою, всегда можно найти оставшиеся два узла по соседним слоям. Схемы, приведенные на рис.3,b), построены с использованием этого свойства.

Если мы знаем во временном слое Q_i-1,j ,Q_i+1,j и P_i,j , то

(3)

Правило 2 показывает связь между расходом газа и давлением в каждом временном слое из предположения, что между соседними узлами по давлению установился стационарный режим течения газа.

В идеале, любое нестационарное состояние газа стремится перейти в стационарное. Первоначально v это стационарный режим течения газа, а затем стационарное состояние газа (т.е. выравнивание давления в замкнутом объеме). Тогда в постановке нашей задачи возможны два случая:

Задано распределение давления газа по узлам трубы. Необходимо определить состояние в узлах после определенного промежутка времени без внешних воздействий. Это выравнивание давления в замкнутом пространстве.

Задано распределение давления газа по узлам трубы, задано изменение давления или расхода на одном или обоих концах трубы. Необходимо определить состояние в узлах после определенного промежутка времени, т.е. после внешних воздействий. Это состояние трубы при течении газа.

В данной работе ограничимся случаем 2), так как рассматривается только транспорт газа. То есть заранее заданы изменения P и Q на одном или обоих концах трубы и с учетом начального состояния газа в трубе, его физических параметров необходимо получить конечное его состояние.

Для формулы (3) v это разница между расходами газа для узла i,j по длине трубы, т.е.

(4)

где

K- - это приведенный коэффициент физических параметров трубы при изотермическом движении и без учета перепада высот на концах трубы;