Статья: К решению теоремы Ферма

Физически эти числа выражают сумму кубов в целых числах, по аналогии с n=2, где сумма квадратов означает сумму площадей. По сути мы получили новый вариант теоремы Ферма.

4. Искажения проекций (треугольников) по мере возрастания n обусловлены отражением на плоскости (х,у) несвойственных ей структур более высокого порядка. Отсюда можно заключить, что решения теоремы Ферма в целых числах связаны с наличием прямоугольных проекций, а при нецелых решениях- с искаженными проекциями в виде остроугольных треугольников.

Это подтверждается следующими математическими выкладками. Предварительно решим треугольник АВС из теоремы косинусов относительно cosC, где C –угол между сторонами а и b

сosC= (a² + b² -c² )/2ab. Подставим вместо сторон а, b и с их аналоги из треугольных проекций при а = b =1:

а → x; b → y=x-1; c → z=x+1 , гдеx=2n+P(1 ,n )/x^n-1

После выполнения операций преобразования получим:

cosC_n = 0,5-1,5/ x_n -1 (7)

По полученной формуле проведены расчеты

n	2	3	4	5	10	∞
x-1	3	5.054	7.125	9.200	19.0..	∞
cosC	0	0.202	0.289	0.337	0.421	0.5
Co	90	78	73	70	65	60

Из которых следует :

- искажение треугольников при n>2 обусловлено изменением угла С от 90^о при n=2 до 60^о при n→ ∞ при этом треугольники превращаются из прямоугольных в остроугольные и в пределе – в равносторонние.

- В остроугольных треугольниках нет целых решений уравнений Ферма т.к. их стороны сформированы нецелыми числами.

- Решение теоремы Ферма в целых числах присуще только прямоугольным проекциям на плоскость (х,у) числовых отрезков уравнений y ² + x ² = z ²

5. Второй сектор квадранта является аналогом первого- зеркальным отражением первого при y>x со всеми вытекающими из этого результатами.

6. В процессе проведения анализа по доказательству теоремы Ферма в общем виде получены 4 компактных метода доказательства теоремы при целых x, y, когда требуется показать , что при n>2 число z является нецелым.

Первый метод доказательства следует из рассмотрения остроугольного треугольника, для которого Z ₀ ² = x ² + y ² –2 xycosc . Требуется доказать, что Z ₀ является нецелым числом. В нем известны x и y – целые числа, а cosc определен с учетом ограничений a=b=1. Он изменяется в пределах 0< cosc < 0,5 (см. ф-лу (7) и табл. на стр.3) и является функцией нецелого, иррационального числа х. Значит и соsc является также нецелым числом со множеством значащих цифр после запятой. Благодаря этому нецелым становится выражение 2 xycosc , что в свою очередь делает нецелым Z ₀ ² и извлеченный из него квадратный корень Z _0.

В основу второго метода также заложено рассмотрение остроугольного треугольника. Его Z ₀ ² = x ² + y ² –2 xycosc всегда меньше соответствующего Z _п ² = x ² + y ² прямоугольного треугольника и числовой отрезок Z ₀ ² находится внутри числового отрезкаZ _п ² =x ² + y ² .

Учитывая, что при принятых ограничениях y=x-1, т.е. отличается на единицу, то корень, извлеченный из Z ₀ ² будет иметь нецелое значение, т.к. между числами x-1 и x нет других целых чисел.

Третий метод основан на другом принципе. Его сущность заключается в следующем.

Для последовательности целых чисел 1,2,3,4 и т.д. составляется ряд их квадратов:

1 4 9 16 25 36 4964 81 100 121 144 169 196 и т.д.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 и т.д.

Между числами первого ряда размещается нижний ряд, представляющий собой количество целых чисел (порядковых номеров), размещенных между двумя смежными квадратами чисел x и x+1. Эти целые (и нецелые) числа z¹ не могут иметь при извлечении из них корней целых значений, т.к. находятся между числами, отличающимися на единицу, а будут иметь значения x+D, где D=z¹ /Dx²

Учитывая, что при n>2 для остроугольных треугольников z₀ ² всегда меньше z_п ² или соответствующего Dx² в ряду квадратов, необходимо вставить числовой отрезок z₀ ² в числовой отрезок Dx² и убедиться, что извлеченный корень из числа z₀ ² является нецелым числом.

Рассмотрим доказательство на примере для n=5.

Примем: x=2n=10; y=2n-1=9;cosC=0,337 (см. Формулы 6 и 7).

z₀ ² =10² +9² -2*10*9*0,337=120,34.

В ряду квадратов это число находится между числами 100 и 121, являющимися квадратами целых чисел 10 и 11.

Кв. корень из числа 120,34 равен 10.97 – нецелое число.

Проверка: 10⁵ +9⁵ =159049. Корень пятой степени из числа 159049 равен 10,97. В случае необходимости z₀ ² может быть уточнено путем повторного (многократного) определения cosC по трем известным сторонам треугольника.

Примечание. Числа ряда квадратов относятся к остроугольным треугольникам различных степеней n . Числа второго ряда, отмеченные жирным шрифтом и поделенные на 4, указывают на степень n, к которой относится пара чисел, выбранная из условия ограничения a=b=1, в соответсвии с формулой (6).