Статья: К решению теоремы Ферма

Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.

В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества yⁿ + xⁿ = zⁿ (1)

на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n , которые могут содержатьрешения уравнения (1) в целых числах x , y , z , а второе подмножество содержит только нецелые решения.

Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :

(x - a)ⁿ + xⁿ –(x+b)ⁿ = 0 (2)

Здесь: x – переменное число, а < x – целое число; n – целое число, показатель степени; b – целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x , a , и n .

Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,zдля удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 45⁰ сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости(x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.

Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:

(x–a)ⁿ + xⁿ = 2xⁿ - nx^n-1 a + c_n ² x^n-2 a² - c_n ³ x^n-3 a³ ...... + aⁿ

(x+b)ⁿ = xⁿ +nx^n-1 b + c_n ² x^n-2 b² + c_n ³ x^n-3 b³ .......+bⁿ

D = xⁿ - nx^n-1 (a+b) + c_n ² x^n-2 (a² -b² ) - c_n ³ x^n-3 (a³ +b³ )..+(aⁿ + bⁿ ) =0

(3)

Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x , y =( x – a ), z =( x + b ), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a = b =1. Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:

xⁿ - 2nx^n-1 a - 2c_n ³ x^n-3 a³ - 2c_n ⁵ x^n-5 a⁵ - ... (aⁿ + aⁿ )=0 (4)

ОбозначимчерезP(a,n) = 2c_n ³ x^n-3 a³ + 2c_n ⁵ x^n-5 a⁵ +... ( aⁿ + aⁿ ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:

xⁿ - 2nx^n-1 a - P(a,n) = 0

Разделив все члены уравнения на x^{n -1} , получим выражение для искомого x

x=2 na + P ( a,n )/ x^{n -1} , гдеP(a,n)/x^n-1 ³ 0 (5)

При a = b = 1 выражение (5) примет вид:

x=2n+P( 1 ,n)/x^n-1 (6)

Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P (1 , n )/ x^{n -1} .

Исходя из изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножествуyⁿ + xⁿ = zⁿ

Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования для n=2,3,4 и 5.

На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:

1. Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P ( a , n )/ x^{n -1} .

2. Если уравнение yⁿ + xⁿ = zⁿ с учетом добавки P ( a , n ) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1, n )/х^{n -1} ; у=2n-1+ P(1, n )/х^{n -1} ; z=2n+1+ P(1, n )/х^{n -1} , что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1, n )/х^{n -1} .

Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде

P(1,n)/ х ^n-1 = 2c_n ³ /x² + 2c_n ⁵ /x⁴ +2c_n ⁷ /x⁶ ... ( 1 + 1 ) / x^{n -1}

В числителе каждого члена разложения представлены сочетанияc_n ^k , распределение которых симметрично, наподобие гаусовскому, относительно центра ( n+1)/2 . В знаменателе функция x ² , возрастающая с каждым членом по квадратичному закону.

Первый член разложения, из-за малости x ² имеет наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после запятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; и т.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателяx^{n -1} (для n=3 – 2/6² ; для n=15– порядка 2/30¹⁴ ; для n=25– 2/50²⁴ и т.п.)

Первая половина разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--